5. Если мы рассматриваем работу компьютера, то количество сбоев в ней подчиняется закону Пуассона. Среднее число сбоев

Давайте решим задачу о количестве сбоев в работе компьютера, где количество сбоев подчиняется закону Пуассона с средним значением равным 3 в неделю.

a) Для определения вероятности отсутствия сбоев (\(P_0\)) в данной неделе, мы можем использовать формулу Пуассона:

\[P(X = k) = \frac{{e^{-\lambda} \cdot \lambda^k}}{{k!}}\]

где \(X\) - случайная величина, \(k\) - количество сбоев, \(\lambda\) - среднее количество сбоев.

В данной задаче, мы ищем вероятность отсутствия сбоев (\(P_0\)), то есть \(k = 0\) , поэтому подставим значения в формулу и вычислим:

\[P_0 = \frac{{e^{-3} \cdot 3^0}}{{0!}} = e^{-3} \approx 0.0498\]

Таким образом, вероятность отсутствия сбоев для данной недели составляет примерно 0.0498 или около 4.98%.

b) Для определения вероятности ровно одного сбоя (\(P_1\)) в данной неделе, мы также можем использовать формулу Пуассона:

\[P_1 = \frac{{e^{-3} \cdot 3^1}}{{1!}} = 3e^{-3} \approx 0.1493\]

Таким образом, вероятность ровно одного сбоя для данной недели составляет примерно 0.1493 или около 14.93%.

c) Для определения вероятности более трех сбоев (\(P(X > 3)\)) в данной неделе, мы можем использовать следующий подход:

\[P(X > 3) = 1 - P(X \leq 3)\]

Для расчета \(P(X \leq 3)\), который представляет вероятность неравенства менее или равно трех сбоев, мы можем использовать формулу Пуассона и сложить вероятности для событий с числом сбоев от 0 до 3:

\[P(X \leq 3) = P_0 + P_1 + P_2 + P_3\]

Вычислим каждое из слагаемых:

\[P(X \leq 3) = \frac{{e^{-3} \cdot 3^0}}{{0!}} + \frac{{e^{-3} \cdot 3^1}}{{1!}} + \frac{{e^{-3} \cdot 3^2}}{{2!}} + \frac{{e^{-3} \cdot 3^3}}{{3!}}\]

\[P(X \leq 3) \approx 0.4232\]

Теперь найдем вероятность \(P(X > 3)\):

\[P(X > 3) = 1 - P(X \leq 3) = 1 - 0.4232 = 0.5768\]

Таким образом, вероятность более трех сбоев для данной недели составляет примерно 0.5768 или около 57.68%.