4 вариант: 1. При помощи теоремы синусов, решите треугольник ABC с известными значениями: сторона CB равна 12

Хорошо! Давайте решим каждую задачу по очереди.

1. Для решения этой задачи воспользуемся теоремой синусов, которая гласит:

\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\]

где \(a\), \(b\), \(c\) - стороны треугольника, \(A\), \(B\), \(C\) - соответствующие им углы.

У нас известны сторона \(CB\) (12 см) и угол \(B\) (30 градусов). Пусть \(a\) - сторона \(AB\), \(c\) - сторона \(AC\).

Тогда, по теореме синусов, у нас есть следующее уравнение:

\[\frac{12}{\sin 30^\circ} = \frac{a}{\sin B} = \frac{c}{\sin A}\]

Для начала, найдем значения \(\sin 30^\circ\), \(\sin B\) и \(\sin A\).

\(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\) (это стандартное значение).

Также, известно, что сумма углов в треугольнике равна 180 градусам, поэтому:

\(A = 180^\circ - 30^\circ - B = 150^\circ\)

Теперь можно выразить неизвестные стороны:

\(\frac{12}{\frac{1}{2}} = \frac{a}{\sin 30^\circ}\)

\[a = \frac{12}{\frac{1}{2}} \cdot \sin 30^\circ = 24 \cdot \frac{1}{2} = 12\]

\(\frac{12}{\frac{1}{2}} = \frac{c}{\sin 150^\circ}\)

\[c = \frac{12}{\frac{1}{2}} \cdot \sin 150^\circ = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3}\]

Таким образом, сторона \(AB\) равна 12 см, а сторона \(AC\) равна \(12\sqrt{3}\) см.

2. Теперь решим задачу о площади треугольника. Для этого также воспользуемся теоремой синусов.

У нас известны сторона \(CA\) (35 см) и угол \(C\) (65 градусов). Пусть \(a\) - сторона \(AB\), \(b\) - сторона \(BC\), \(c\) - сторона \(CA\).

По теореме синусов, у нас есть следующее уравнение:

\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\]

Мы уже знаем значения угла \(C\) (65 градусов) и стороны \(CA\) (35 см). Найдем значения \(\sin C\) и \(\sin A\).

\(\sin C = \sin 65^\circ\) (можно использовать таблицы тригонометрических значений или калькулятор)

Также, известно, что сумма углов в треугольнике равна 180 градусам, поэтому:

\(A + B = 180^\circ - C = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ\)

Теперь мы можем выразить неизвестную сторону \(AB\):

\(\frac{35}{\sin 65^\circ} = \frac{a}{\sin A}\)

\[a = 35 \cdot \frac{\sin A}{\sin 65^\circ}\]

Вторую сторону \(BC\) мы не можем определить, так как нам не даны достаточные данные. Поэтому площадь треугольника мы вычислить не можем.

3. Для нахождения сторон треугольника по теореме косинусов, нам даны сторона \(BC\) (4 см), сторона \(AB\) (8 см) и угол \(A\) (120 градусов). Пусть \(a\) - сторона \(AB\), \(b\) - сторона \(BC\), \(c\) - сторона \(CA\).

Теорема косинусов гласит:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\]

В нашем случае, мы знаем стороны \(BC\) и \(AB\) и угол \(A\). Пусть \(c\) - сторона \(CA\).

Заметим, что стороны треугольника равны в сумме двум другим сторонам, поэтому:

\[c = a + b\]

Уравнение для нахождения сторон имеет вид:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\]

Подставим известные значения:

\[c^2 = 8^2 + 4^2 - 2 \cdot 8 \cdot 4 \cdot \cos 120^\circ\]

\[c^2 = 64 + 16 - 64 \cdot \cos 120^\circ\]

\[\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}\]

\[c^2 = 64 + 16 - 64 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\]

\[c^2 = 64 + 16 + 32\]

\[c^2 = 112\]

\[c = \sqrt{112} = 4\sqrt{7}\]

Таким образом, сторона \(CA\) равна \(4\sqrt{7}\) см. Стороны \(AB\) и \(BC\) не меняются и остаются равными 8 см и 4 см соответственно.