4. Путем применения метода деления двоичком, перепишите выражение многочлена h(x)=x³+kx²+x+21 в канонической форме

Хорошо, давайте разберемся с этой задачей. Для начала, нам нужно разделить многочлен \(h(x) = x^3 + kx^2 + x + 21\) на двучлен \(x + 3\).

Мы можем использовать метод деления двоичком для выполнения этой операции. Этот метод заключается в последовательном делении старших разрядов многочлена на старший разряд делителя и переноса остатков после каждого деления в следующий разряд.

Давайте выполним деление шаг за шагом:

1. В начале, упорядочим многочлен \(h(x)\) по убыванию степеней:
\(h(x) = x^3 + kx^2 + x + 21\)

2. Далее, упростим делитель \(х + 3\). Мы можем записать его в виде \(х + 3 = 0\), а затем сделать замену \(х = -3\):
\(х = - 3\)

3. Перенесем первое слагаемое \(x^3\) в столбец с остатками, а значение \(kx^2\) перенесем в столбец с исходным многочленом:
\[
\begin{array}{c|c}
x+3 & x^3 + kx^2 + x + 21 \\
\end{array}
\]

4. Определим, сколько раз \(х + 3\) можно разделить на \(x^3\). Разделив \(x^3\) на \(х\), получим \(х^2\):
\[
\begin{array}{c|c}
x+3 & x^3 + kx^2 + x + 21 \\
& \underline{x^3 + 3x^2} \\
\end{array}
\]

5. Вычислим \(k(x + 3)\) и перенесем его в столбец с исходным многочленом:
\[
\begin{array}{c|c}
x+3 & x^3 + kx^2 + x + 21 \\
& \underline{x^3 + 3x^2} \\
& (k-3)x^2 + x + 21 \\
\end{array}
\]

6. Повторим шаги 4 и 5 для нового многочлена \((k-3)x^2 + x + 21\). Разделим \((k-3)x^2\) на \(х\) для определения следующего слагаемого:
\[
\begin{array}{c|c}
x+3 & x^3 + kx^2 + x + 21 \\
& \underline{x^3 + 3x^2} \\
& (k-3)x^2 + x + 21 \\
& \phantom{(k-3)}\underline{(k-3)x^2 + 3(k-3)x} \\
\end{array}
\]

7. Теперь вычислим \(3(k-3)x\) и перенесем его в столбец с остатками:
\[
\begin{array}{c|c}
x+3 & x^3 + kx^2 + x + 21 \\
& \underline{x^3 + 3x^2} \\
& (k-3)x^2 + x + 21 \\
& \phantom{(k-3)}\underline{(k-3)x^2 + 3(k-3)x} \\
& \phantom{(k-3)}\phantom{x^2}\underline{3(k-3)x + 9(k-3)} \\
\end{array}
\]

8. Наконец, определим остаток от деления, который равен \(3(k-3)x + 9(k-3)\):
\[
\begin{array}{c|c}
x+3 & x^3 + kx^2 + x + 21 \\
& \underline{x^3 + 3x^2} \\
& (k-3)x^2 + x + 21 \\
& \phantom{(k-3)}\underline{(k-3)x^2 + 3(k-3)x} \\
& \phantom{(k-3)}\phantom{x^2}\underline{3(k-3)x + 9(k-3)} \\
& \phantom{(k-3)}\phantom{x^2}\phantom{3(k-3)x + 9(k-3)} + 21 \\
\end{array}
\]

Теперь, в канонической форме выражение \(h(x) = x^3 + kx^2 + x + 21\) может быть записано в виде частного и остатка от деления на \(x+3\):
\[h(x) = (x^2 + (k-3)x + 3(k-3))(x + 3) + 21\]

Для определения корней многочлена, нам необходимо решить уравнение \(h(x) = 0\). Так как \(21\) не равно нулю, то многочлен не имеет рациональных корней. Остальные корни могут быть найдены при помощи других методов, например, методом графиков или методом Будана.

Чтобы разложить многочлен на множители, нам нужно факторизовать выражение \(x^2 + (k-3)x + 3(k-3)\) на неприводимые множители. В этом случае, разложение на множители может оказаться сложным, так как мы не знаем значение параметра \(k\).