4. Найдите уравнение прямой, которая является перпендикулярной биссектрисе первого квадранта и проходит через точку

Решение задачи 4:

Перпендикулярная биссектрисе первого квадранта прямая будет иметь угол наклона равный 45 градусам, так как она будет перпендикулярна углу 45 градусов, создаваемому биссектрисой первого квадранта.

Угол наклона \( m \) равен тангенсу угла наклона прямой и определяется формулой: \( m = \tan(\theta) \), где \( \theta \) - угол наклона, в данном случае 45 градусов.

Теперь у нас есть угол наклона \( m = 1 \).

Используя уравнение прямой в общем виде \( y = mx + c \), где \( m \) - угол наклона, \( x \) и \( y \) - координаты точки на прямой, а \( c \) - свободный член (y-пересечение прямой с осью y), подставим известные значения координат точки на прямой: \( x = -17 \) и \( y = 20 \).

\( 20 = 1 \cdot (-17) + c \Rightarrow 20 = -17 + c \Rightarrow c = 37 \).

Теперь, зная угол наклона \( m = 1 \) и значение свободного члена \( c = 37 \), можем записать уравнение прямой: \( y = x + 37 \).

Построим график данной прямой:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & y \\
\hline
-5 & 32 \\
-10 & 27 \\
-15 & 22 \\
-20 & 17 \\
-25 & 12 \\
-30 & 7 \\
\hline
\end{array}
\]

Теперь мы можем построить график, соединив полученные точки прямой линией.

Решение задачи 5:

Давайте обозначим двузначное число как \( ab \), где \( a \) - это первая цифра числа, а \( b \) - вторая цифра числа. По условию задачи дано, что сумма цифр равна 8, то есть \( a + b = 8 \) (уравнение 1).

Также, дано, что если это число разделить на число, состоящее из тех же цифр, но записанных в обратном порядке, то в результате деления получится 4 с остатком. Из этого условия можем составить уравнение: \( \frac{ab}{ba} = 4 \) (уравнение 2).

Чтобы найти двузначное число, решим систему уравнений (1) и (2).

Из уравнения 1 можем выразить одну из переменных, например \( b \), через другую переменную \( a \): \( b = 8 - a \).

Подставим это значение в уравнение 2: \( \frac{a(8 - a)}{10a + (8 - a)} = 4 \).

Раскроем скобки, получим: \( \frac{8a - a^2}{9a + 8} = 4 \).

Перемножим обе части уравнения на знаменатель: \( 8a - a^2 = 36a + 32 \).

Перенесем все слагаемые влево и получим квадратное уравнение: \( a^2 - 44a - 32 = 0 \).

Решим это уравнение с помощью квадратного корня или квадратного дополнения. Для простоты, воспользуемся квадратным дополнением.

Сначала умножим коэффициент при \( a^2 \) и свободный член (-32): \( -32 \cdot 1 = -32 \).

Теперь найдем два числа, сумма которых равна -44 (коэффициент при \( a \)) и произведение которых равно -32.

Эти числа это -4 и 36, так как \((-4) + 36 = 32\), а \((-4) \cdot 36 = -144\).