4. Каков область определения функций, заданных следующими формулами: а) y=x^2 +1; б) y = √(10x) – 5; в) y= √x/(x-1

У нас есть четыре функции и мы должны определить их область определения. Область определения - это набор всех возможных значений, которые переменная может принимать в функции, чтобы функция была определена.

а) Для функции \(y = x^2 + 1\), переменная \(x\) может принимать любое значение, потому что для любого числа, возведенного в квадрат, будет существовать значение. Таким образом, область определения функции \(y = x^2 + 1\) - это \(\mathbb{R}\), все действительные числа.

б) Для функции \(y = \sqrt{10x} - 5\), переменная \(x\) должна быть неотрицательной, потому что корень из отрицательного числа не существует в действительных числах. Таким образом, область определения функции \(y = \sqrt{10x} - 5\) - это множество неотрицательных чисел, \(x\geq 0\).

в) Для функции \(y = \frac{\sqrt{x}}{x-1}\), должно выполняться два условия. Во-первых, корень из \(x\) должен быть определен, поэтому \(x\) должно быть неотрицательным числом (\(x \geq 0\)). Во-вторых, знаменатель \((x - 1)\) не должен быть равен нулю, так как деление на ноль не определено. Поэтому, \(x\) должно быть любым числом, кроме 1. Таким образом, область определения функции \(y = \frac{\sqrt{x}}{x-1}\) - это множество всех неотрицательных чисел, кроме 1, \(x \geq 0, x \neq 1\).

г) Для функции \(y = \frac{2}{x-1}\), знаменатель \((x - 1)\) не должен быть равен нулю, так как деление на ноль не определено. Поэтому, \(x\) должно быть любым числом, кроме 1. Таким образом, область определения функции \(y = \frac{2}{x-1}\) - это множество всех чисел, кроме 1, \(x \neq 1\).

Таким образом, мы определили области определения для каждой из четырех функций:

а) \(D = \mathbb{R}\) (все действительные числа).
б) \(D = \{x \mid x \geq 0\}\) (неотрицательные числа).
в) \(D = \{x \mid x \geq 0, x \neq 1\}\) (неотрицательные числа, кроме 1).
г) \(D = \{x \mid x \neq 1\}\) (все числа, кроме 1).

Надеюсь, что объяснение было понятным и полезным! Пожалуйста, не стесняйтесь обратиться, если у вас возникнут еще вопросы.