35.13. 1) Is the inequality (10 + x)(100 – 10x + x^2) - 33 - 500x < 0 true? 2) Does the inequality -x^3 + 675x

Будьте любезны, вот подробные ответы на каждое из заданий:

1) Для решения данной неравенства, раскроем скобки и упростим выражение:
$(10+x)(100-10x+x^2)-33-500x<0$

Сначала умножим $10+x$ на каждый член в скобках:
$1000+100x-100x^2+10x-10x^2+x^3-33-500x<0$

Упростим данное выражение:
$x^3-110x^2+90x+967<0$

После этого проверим знак в каждом интервале, чтобы узнать, когда неравенство будет выполняться. Построим таблицу знаков:

$$\begin{array}{ccccc}& x^3& -110x^2& 90x& +967\\ \frac{-\mathrm{\infty }}{+\mathrm{\infty }}& -& +& +& +\end{array}$$

Таким образом, неравенство выполняется при $x\in (-\mathrm{\infty },r_1)\cup (r_2,r_3)\cup (r_4,+\mathrm{\infty })$, где $r_1$, $r_2$, $r_3$, $r_4$ - это корни уравнения $x^3-110x^2+90x+967=0$.

2) Для решения данного неравенства, раскроем скобки и упростим выражение:
$-x^3+675x-(15+x)(225-15x+x^2)>0$

Сначала умножим $-(15+x)$ на каждый член в скобках:
$-x^3+675x-3375+225x-15x^2+975x-15x^3+x^3>0$

Упростим данное выражение:
$-16x^3+1810x-3375>0$

После этого проверим знак в каждом интервале, чтобы узнать, когда неравенство будет выполняться. Построим таблицу знаков:

$$\begin{array}{cccc}& -16x^3& +1810x& -3375\\ \frac{-\mathrm{\infty }}{+\mathrm{\infty }}& -& +& -\end{array}$$

Таким образом, неравенство выполняется при $x\in (r_1,r_2)\cup (r_3,+\mathrm{\infty })$, где $r_1$, $r_2$, $r_3$ - это корни уравнения $-16x^3+1810x-3375=0$.

3) Для решения данного неравенства, раскроем скобки и упростим выражение:
$(169+13x+x^2)(x-13)-x^3-2262x<0$

Сначала умножим $169+13x+x^2$ на $x-13$:
$x^3-170x^2+2261x-2197-x^3-2262x<0$

Упростим данное выражение:
$-170x^2+2261x-2197<0$

После этого проверим знак в каждом интервале, чтобы узнать, когда неравенство будет выполняться. Построим таблицу знаков:

$$\begin{array}{cccc}& -170x^2& +2261x& -2197\\ \frac{-\mathrm{\infty }}{+\mathrm{\infty }}& +& +& -\end{array}$$

Таким образом, неравенство выполняется при $x\in (r_1,r_2)$, где $r_1$, $r_2$ - это корни уравнения $-170x^2+2261x-2197=0$.

4) Для решения данного неравенства, раскроем скобки и упростим выражение:
$1331x-303+(11+x)(x^2-11x+121)>0$

Сначала умножим $11+x$ на каждый член в скобках:
$1331x-303+x^3-11x^2+121x-1210x+1331x>0$

Упростим данное выражение:
$x^3-11x^2+374x+1028>0$

После этого проверим знак в каждом интервале, чтобы узнать, когда неравенство будет выполняться. Построим таблицу знаков:

$$\begin{array}{ccccc}& x^3& -11x^2& +374x& +1028\\ \frac{-\mathrm{\infty }}{+\mathrm{\infty }}& -& +& +& +\end{array}$$

Таким образом, неравенство выполняется при $x\in (-\mathrm{\infty },r_1)\cup (r_2,+\mathrm{\infty })$, где $r_1$, $r_2$ - это корни уравнения $x^3-11x^2+374x+1028=0$.