35.13. 1) Is the inequality (10 + x)(100 – 10x + x^2) - 33 - 500x < 0 true? 2) Does the inequality -x^3 + 675x

Будьте любезны, вот подробные ответы на каждое из заданий:

1) Для решения данной неравенства, раскроем скобки и упростим выражение:
\((10 + x)(100 - 10x + x^2) - 33 - 500x < 0\)

Сначала умножим \(10 + x\) на каждый член в скобках:
\(1000 + 100x - 100x^2 + 10x - 10x^2 + x^3 - 33 - 500x < 0\)

Упростим данное выражение:
\(x^3 - 110x^2 + 90x + 967 < 0\)

После этого проверим знак в каждом интервале, чтобы узнать, когда неравенство будет выполняться. Построим таблицу знаков:

\[
\begin{array}{cccc}
& x^3 & -110x^2 & 90x & +967 \\
\frac{{-\infty}}{{+\infty}} & - & + & + & + \\
\end{array}
\]

Таким образом, неравенство выполняется при \(x \in (-\infty, r_1) \cup (r_2, r_3) \cup (r_4, +\infty)\), где \(r_1\), \(r_2\), \(r_3\), \(r_4\) - это корни уравнения \(x^3 - 110x^2 + 90x + 967 = 0\).

2) Для решения данного неравенства, раскроем скобки и упростим выражение:
\(-x^3 + 675x - (15 + x)(225 - 15x + x^2) > 0\)

Сначала умножим \(-(15 + x)\) на каждый член в скобках:
\(-x^3 + 675x - 3375 + 225x - 15x^2 + 975x - 15x^3 + x^3 > 0\)

Упростим данное выражение:
\(-16x^3 + 1810x - 3375 > 0\)

После этого проверим знак в каждом интервале, чтобы узнать, когда неравенство будет выполняться. Построим таблицу знаков:

\[
\begin{array}{cccc}
& -16x^3 & +1810x & -3375 \\
\frac{{-\infty}}{{+\infty}} & - & + & - \\
\end{array}
\]

Таким образом, неравенство выполняется при \(x \in (r_1, r_2) \cup (r_3, +\infty)\), где \(r_1\), \(r_2\), \(r_3\) - это корни уравнения \(-16x^3 + 1810x - 3375 = 0\).

3) Для решения данного неравенства, раскроем скобки и упростим выражение:
\((169 + 13x + x^2)(x - 13) - x^3 - 2262x < 0\)

Сначала умножим \(169 + 13x + x^2\) на \(x - 13\):
\(x^3 - 170x^2 + 2261x - 2197 - x^3 - 2262x < 0\)

Упростим данное выражение:
\(-170x^2 + 2261x - 2197 < 0\)

После этого проверим знак в каждом интервале, чтобы узнать, когда неравенство будет выполняться. Построим таблицу знаков:

\[
\begin{array}{ccc}
& -170x^2 & + 2261x & - 2197 \\
\frac{{-\infty}}{{+\infty}} & + & + & - \\
\end{array}
\]

Таким образом, неравенство выполняется при \(x \in (r_1, r_2)\), где \(r_1\), \(r_2\) - это корни уравнения \(-170x^2 + 2261x - 2197 = 0\).

4) Для решения данного неравенства, раскроем скобки и упростим выражение:
\(1331x - 303 + (11 + x)(x^2 - 11x + 121) > 0\)

Сначала умножим \(11 + x\) на каждый член в скобках:
\(1331x - 303 + x^3 - 11x^2 + 121x - 1210x + 1331x > 0\)

Упростим данное выражение:
\(x^3 - 11x^2 + 374x + 1028 > 0\)

После этого проверим знак в каждом интервале, чтобы узнать, когда неравенство будет выполняться. Построим таблицу знаков:

\[
\begin{array}{cccc}
& x^3 & -11x^2 & +374x & +1028 \\
\frac{{-\infty}}{{+\infty}} & - & + & + & + \\
\end{array}
\]

Таким образом, неравенство выполняется при \(x \in (-\infty, r_1) \cup (r_2, +\infty)\), где \(r_1\), \(r_2\) - это корни уравнения \(x^3 - 11x^2 + 374x + 1028 = 0\).