335. Utilizing the reverse theorem of Vieta, attempt to find the roots of the quadratic equation. If finding the roots

Для решения данных квадратных уравнений, мы можем использовать теорему Виета или формулу для нахождения корней. Давайте решим каждое уравнение по очереди.

4) Решим уравнение \(x^2 - 2x - 35 = 0\):
Для начала, проверим, можно ли найти корни, используя теорему Виета. Сумма корней равна коэффициенту при \(x\), деленному на коэффициент при \(x^2\). Здесь сумма корней равна \(-(-2)/1 = 2\). Произведение корней равно свободному члену, деленному на коэффициент при \(x^2\). Произведение корней равно \((-35)/1 = -35\).

Так как нам известна сумма и произведение корней, то мы можем воспользоваться числами -7 и 5, так как -7 + 5 = 2 и -7 * 5 = -35. Таким образом, корни уравнения \(x^2 - 2x - 35 = 0\) равны -7 и 5.

5) Решим уравнение \(x^2 + 5x - 4 = 0\):
Так как мы не можем найти корни с использованием теоремы Виета, воспользуемся формулой для нахождения корней. Формула для корней квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) выглядит следующим образом:
\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

Применяя эту формулу к нашему уравнению \(x^2 + 5x - 4 = 0\), получаем:
\[x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 1 \cdot -4}}{2 \cdot 1}\]
\[x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 16}}{2}\]
\[x = \frac{-5 \pm \sqrt{41}}{2}\]

Таким образом, корни уравнения \(x^2 + 5x - 4 = 0\) равны \(\frac{-5 + \sqrt{41}}{2}\) и \(\frac{-5 - \sqrt{41}}{2}\).

Продолжим с остальными уравнениями:

6) Уравнение \(x^2 + 5x - 36 = 0\) может быть разложено в виде \((x + 9)(x - 4) = 0\). Таким образом, корни уравнения равны -9 и 4.

7) Для уравнения \(x^2 + 5x + 14 = 0\) мы не можем найти корни с использованием теоремы Виета или легко разложить его на множители. Воспользуемся формулой для корней, получая:
\[x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}\]
\[x = \frac{-5 \pm \sqrt{-31}}{2}\]
Так как значение подкоренного выражения отрицательное, корни будут комплексными числами. Таким образом, корни этого уравнения - комплексные числа.

8) Уравнение \(x^2 + 16x + 55 = 0\) может быть разложено в виде \((x + 5)(x + 11) = 0\). Таким образом, корни уравнения равны -5 и -11.

9) Решим уравнение \(x^2 - 4x - 77 = 0\) с использованием теоремы Виета. Обратите внимание, что для определения корней мы должны разложить число -77 на два множителя, сумма которых равна -4. Здесь мы можем разложить -77 на -11 и 7, так как -11 + 7 = -4. Таким образом, корни этого уравнения равны 11 и -7.

10) И наконец, уравнение \(x^2 + 20x\) не имеет правой части и равно нулю. Чтобы найти корни, мы должны разложить левую часть на множители: \(x(x + 20) = 0\). Таким образом, корни этого уравнения равны 0 и -20.

Надеюсь, это решение поможет вам понять и решить данные уравнения! Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их.