31.2. Парафразируйте следующие вопросы: а) Найдите скалярное произведение векторов ā(1/2; -1) и b(2;3), а также угол

Давайте разберем каждый вопрос по очереди.

а) Для начала найдем скалярное произведение векторов ā(1/2; -1) и b(2;3). Для этого умножим соответствующие координаты векторов друг на друга, а затем сложим полученные произведения. Таким образом, скалярное произведение будет равно:

\(ā \cdot b = (1/2 \cdot 2) + (-1 \cdot 3) = 1 - 3 = -2\).

Теперь найдем угол между векторами. Для этого воспользуемся формулой:

\(\cos \theta = \frac{ā \cdot b}{|ā| \cdot |b|}\),

где \(\theta\) - угол между векторами, \(|ā|\) и \(|b|\) - длины соответствующих векторов. Длины векторов можно найти с помощью формулы:

\(|v| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}\),

где \(v_x\) и \(v_y\) - координаты вектора \(v\).

Длина вектора ā равна:

\(|ā| = \sqrt{(1/2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1/4 + 1} = \sqrt{5/4} = \frac{\sqrt{5}}{2}\).

Длина вектора b равна:

\(|b| = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}\).

Теперь подставим все значения в формулу для нахождения угла:

\(\cos \theta = \frac{-2}{(\frac{\sqrt{5}}{2}) \cdot (\sqrt{13})}\).

Вычислив это выражение, получим:

\(\cos \theta \approx -0.8206\).

Чтобы найти значение угла, возьмем обратный косинус от полученного значения:

\(\theta \approx \arccos(-0.8206) \approx 2.5403\) радиана (или около 145.5 градусов).

Таким образом, скалярное произведение векторов ā(1/2; -1) и b(2;3) равно -2, а угол между ними примерно 2.5403 радиана (или около 145.5 градусов).

б) Теперь посмотрим на скалярное произведение векторов а(-5;6) и b(6;5), а также угол между ними. Произведение координат и их сложение дает нам:

\(а \cdot b = (-5 \cdot 6) + (6 \cdot 5) = -30 + 30 = 0\).

Следовательно, скалярное произведение векторов а(-5;6) и b(6;5) равно 0.

Чтобы найти угол между векторами, мы можем использовать ту же формулу, что и в предыдущем случае. Длины векторов а и b равны:

\(|а| = \sqrt{(-5)^2 + 6^2} = \sqrt{25 + 36} = \sqrt{61}\),

\(|b| = \sqrt{6^2 + 5^2} = \sqrt{36 + 25} = \sqrt{61}\).

Теперь подставим значения в формулу и вычислим угол:

\(\cos \theta = \frac{0}{\sqrt{61} \cdot \sqrt{61}} = 0\).

Угол между векторами равен 0 радиан (или 0 градусов).

Таким образом, скалярное произведение векторов а(-5;6) и b(6;5) равно 0, а угол между ними равен 0 радиан (или 0 градусов).

в) Наконец, займемся скалярным произведением векторов а(1,5;2) и b(4;-2), а также углом между ними. Умножение соответствующих координат и их сложение дает нам:

\(а \cdot b = (1,5 \cdot 4) + (2 \cdot -2) = 6 + (-4) = 2\).

Следовательно, скалярное произведение векторов а(1,5;2) и b(4;-2) равно 2.

Длины векторов а и b равны:

\(|а| = \sqrt{(1,5)^2 + 2^2} = \sqrt{2,25 + 4} = \sqrt{6,25} = 2,5\),

\(|b| = \sqrt{4^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\).

Подставим значения в формулу для угла:

\(\cos \theta = \frac{2}{2,5 \cdot 2\sqrt{5}} = \frac{2}{5\sqrt{5}}\).

Упрощая это выражение, получаем:

\(\cos \theta = \frac{2\sqrt{5}}{5\sqrt{5}} = \frac{2}{5}\).

Угол между векторами равен:

\(\theta = \arccos(\frac{2}{5})\).

Вычислим это значение:

\(\theta \approx 0.9273\) радиана (или около 53.13 градусов).

Таким образом, скалярное произведение векторов а(1,5;2) и b(4;-2) равно 2, а угол между ними примерно 0.9273 радиана (или около 53.13 градусов).