31.2. Парафразируйте следующие вопросы: а) Найдите скалярное произведение векторов ā(1/2; -1) и b(2;3), а также угол

Давайте разберем каждый вопрос по очереди.

а) Для начала найдем скалярное произведение векторов ā(1/2; -1) и b(2;3). Для этого умножим соответствующие координаты векторов друг на друга, а затем сложим полученные произведения. Таким образом, скалярное произведение будет равно:

$ā\cdot b=(1/2\cdot 2)+(-1\cdot 3)=1-3=-2$.

Теперь найдем угол между векторами. Для этого воспользуемся формулой:

$\cos \theta =\frac{ā\cdot b}{|ā|\cdot |b|}$,

где $\theta$ - угол между векторами, $|ā|$ и $|b|$ - длины соответствующих векторов. Длины векторов можно найти с помощью формулы:

$|v|=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$,

где $v_x$ и $v_y$ - координаты вектора $v$.

Длина вектора ā равна:

$|ā|=\sqrt{(1/2{)}^2+(-1{)}^2}=\sqrt{1/4+1}=\sqrt{5/4}=\frac{\sqrt{5}}{2}$.

Длина вектора b равна:

$|b|=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$.

Теперь подставим все значения в формулу для нахождения угла:

$\cos \theta =\frac{-2}{(\frac{\sqrt{5}}{2})\cdot (\sqrt{13})}$.

Вычислив это выражение, получим:

$\cos \theta \approx -0.8206$.

Чтобы найти значение угла, возьмем обратный косинус от полученного значения:

$\theta \approx \arccos (-0.8206)\approx 2.5403$ радиана (или около 145.5 градусов).

Таким образом, скалярное произведение векторов ā(1/2; -1) и b(2;3) равно -2, а угол между ними примерно 2.5403 радиана (или около 145.5 градусов).

б) Теперь посмотрим на скалярное произведение векторов а(-5;6) и b(6;5), а также угол между ними. Произведение координат и их сложение дает нам:

$а\cdot b=(-5\cdot 6)+(6\cdot 5)=-30+30=0$.

Следовательно, скалярное произведение векторов а(-5;6) и b(6;5) равно 0.

Чтобы найти угол между векторами, мы можем использовать ту же формулу, что и в предыдущем случае. Длины векторов а и b равны:

$|а|=\sqrt{(-5{)}^2+6^2}=\sqrt{25+36}=\sqrt{61}$,

$|b|=\sqrt{6^2+5^2}=\sqrt{36+25}=\sqrt{61}$.

Теперь подставим значения в формулу и вычислим угол:

$\cos \theta =\frac{0}{\sqrt{61}\cdot \sqrt{61}}=0$.

Угол между векторами равен 0 радиан (или 0 градусов).

Таким образом, скалярное произведение векторов а(-5;6) и b(6;5) равно 0, а угол между ними равен 0 радиан (или 0 градусов).

в) Наконец, займемся скалярным произведением векторов а(1,5;2) и b(4;-2), а также углом между ними. Умножение соответствующих координат и их сложение дает нам:

$а\cdot b=(1,5\cdot 4)+(2\cdot -2)=6+(-4)=2$.

Следовательно, скалярное произведение векторов а(1,5;2) и b(4;-2) равно 2.

Длины векторов а и b равны:

$|а|=\sqrt{(1,5{)}^2+2^2}=\sqrt{2,25+4}=\sqrt{6,25}=2,5$,

$|b|=\sqrt{4^2+(-2{)}^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$.

Подставим значения в формулу для угла:

$\cos \theta =\frac{2}{2,5\cdot 2\sqrt{5}}=\frac{2}{5\sqrt{5}}$.

Упрощая это выражение, получаем:

$\cos \theta =\frac{2\sqrt{5}}{5\sqrt{5}}=\frac{2}{5}$.

Угол между векторами равен:

$\theta =\arccos (\frac{2}{5})$.

Вычислим это значение:

$\theta \approx 0.9273$ радиана (или около 53.13 градусов).

Таким образом, скалярное произведение векторов а(1,5;2) и b(4;-2) равно 2, а угол между ними примерно 0.9273 радиана (или около 53.13 градусов).