30б Дано, что f(r)=r^5/2. Рассчитайте f(1/9). f(1/9) = 2) Рассчитайте минимальное и максимальное значение показательной

Хорошо, давайте начнем с первой задачи.

Задача 1:
У нас дана функция \(f(r) = r^{\frac{5}{2}}\), и мы должны вычислить \(f\left(\frac{1}{9}\right)\).

Решение:
Чтобы вычислить значение функции в точке, мы подставляем значение аргумента вместо переменной в функцию. В данном случае, нам нужно подставить \(\frac{1}{9}\) вместо переменной \(r\).

Итак, подставляем \(\frac{1}{9}\) в функцию \(f(r)\):
\[f\left(\frac{1}{9}\right) = \left(\frac{1}{9}\right)^{\frac{5}{2}}\]

Следуя правилам возведения в степень, мы можем написать:
\[\left(\frac{1}{9}\right)^{\frac{5}{2}} = \frac{1^5}{9^{\frac{5}{2}}}\]

Упрощая дальше, мы получаем:
\[\frac{1}{9^{\frac{5}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{9^5}}\]

Заметим, что корень квадратный из 9 равен 3. Таким образом, мы можем записать:
\[\frac{1}{\sqrt{9^5}} = \frac{1}{3^5} = \frac{1}{243}\]

Ответ: \(f\left(\frac{1}{9}\right) = \frac{1}{243}\)

Теперь перейдем ко второй задаче.

Задача 2:
У нас есть показательная функция \(y = x^{\frac{3}{2}}\) на полуинтервале \((8;9]\). Мы должны найти минимальное и максимальное значение этой функции.

Решение:
Чтобы найти минимальное и максимальное значение функции на заданном интервале, мы можем рассмотреть границы этого интервала.

Первый шаг - найти \(y\) при \(x = 8\):
\[y_{\text{мин}} = 8^{\frac{3}{2}}\]

Используя правила возведения в степень, мы можем записать:
\[8^{\frac{3}{2}} = (8^3)^{\frac{1}{2}} = 512^{\frac{1}{2}} = \sqrt{512}\]

Дальше, нам нужно упростить этот корень: \(\sqrt{512} = \sqrt{256 \cdot 2} = 16 \sqrt{2}\)

Таким образом, минимальное значение \(y\) равно \(y_{\text{мин}} = 16 \sqrt{2}\).

Далее, найдем \(y\) при \(x = 9\):
\[y_{\text{макс}} = 9^{\frac{3}{2}}\]

Используя те же самые шаги, мы получим:
\[9^{\frac{3}{2}} = (9^3)^{\frac{1}{2}} = 729^{\frac{1}{2}} = \sqrt{729} = 27\]

Таким образом, максимальное значение \(y\) равно \(y_{\text{макс}} = 27\).

Ответ: \(y_{\text{мин}} = 16 \sqrt{2}\), \(y_{\text{макс}} = 27\).

Если у вас возникнут дополнительные вопросы или если что-то неясно, пожалуйста, дайте мне знать. Я всегда готов помочь!