1.a) Каков шестой член данной геометрической прогрессии с первым членом -32 и знаменателем 0,5? б) Какова сумма первых

Хорошо, давайте решим эти задачи по порядку.

1.a) Для нахождения шестого члена геометрической прогрессии с первым членом -32 и знаменателем 0,5, мы будем использовать формулу для общего члена геометрической прогрессии. Формула имеет вид:

\[a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}\]

где \(a_n\) - это n-ый член прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии, r - знаменатель прогрессии, n - номер члена прогрессии.

В данном случае, \(a_1 = -32\), r = 0,5 и мы ищем шестой член, то есть \(n = 6\).

Подставляя значения в формулу, получаем:

\[a_6 = -32 \cdot (0,5)^{(6-1)}\]

Выполняем вычисления и находим:

\[a_6 = -32 \cdot (0,5)^5 = -32 \cdot 0,03125 = -1\]

Таким образом, шестой член данной геометрической прогрессии равен -1.

1.б) Чтобы найти сумму первых семи членов данной геометрической прогрессии, мы будем использовать формулу для суммы членов геометрической прогрессии. Формула имеет вид:

\[S_n = \frac{{a_1 \cdot (1 - r^n)}}{{1 - r}}\]

где \(S_n\) - сумма первых n членов прогрессии.

В данном случае, \(a_1 = -32\), r = 0,5 и мы ищем сумму первых семи членов, то есть \(n = 7\).

Подставляя значения в формулу, получаем:

\[S_7 = \frac{{-32 \cdot (1 - (0,5)^7)}}{{1 - 0,5}}\]

Выполняем вычисления и находим:

\[S_7 = \frac{{-32 \cdot (1 - 0,0078125)}}{{0,5}} = \frac{{-32 \cdot 0,9921875}}{{0,5}} = -64\]

Таким образом, сумма первых семи членов данной геометрической прогрессии равна -64.

2) Для нахождения суммы первых двадцати членов арифметической прогрессии {ап}, где п-ый член равен 7 + 3n, мы будем использовать формулу для суммы членов арифметической прогрессии. Формула имеет вид:

\[S_n = \frac{{n \cdot (a_1 + a_n)}}{2}\]

где \(S_n\) - сумма первых n членов прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии, \(a_n\) - n-ый член прогрессии.

В данном случае, \(a_1 = 7\) и мы ищем сумму первых двадцати членов, то есть \(n = 20\).

Для нахождения \(a_{20}\), подставим \(n = 20\) в выражение для \(a_p\):

\[a_{20} = 7 + 3 \cdot 20 = 7 + 60 = 67\]

Подставляя значения в формулу для суммы, получаем:

\[S_{20} = \frac{{20 \cdot (7 + 67)}}{2}\]

Выполняем вычисления и находим:

\[S_{20} = \frac{{20 \cdot 74}}{2} = \frac{{1480}}{2} = 740\]

Таким образом, сумма первых двадцати членов заданной арифметической прогрессии равна 740.

3) Здесь нам дана геометрическая прогрессия, где \(c_1 = 2\) и \(c_{p-1} = -3c_n\). Чтобы найти \(c_4\), мы должны сначала найти общий знаменатель \(r\) этой прогрессии.

Используем соотношение для общего знаменателя:

\[-3c_n = c_{p-1}\]

Подставляем известное значение \(c_1\):

\[-3 \cdot 2 = c_{p-1}\]

\[-6 = c_{p-1}\]

Теперь найдем \(r\) с помощью формулы общего члена геометрической прогрессии:

\[c_{p-1} = c_1 \cdot r^{(p-2)}\]

Подставляем известное значение \(c_{p-1}\) и \(c_1\):

\[-6 = 2 \cdot r^{(p-2)}\]

Для решения этого уравнения нам также понадобится дополнительное условие, чтобы найти \(r\). Если у нас нет этого условия, мы не сможем однозначно найти значение \(r\).

4) В данной последовательности арифметической прогрессии нам даны несколько членов, и мы должны найти значение \(x\). Для этого нам необходимо обнаружить закономерность между членами прогрессии.

Мы замечаем, что каждый следующий член в последовательности получается путем умножения предыдущего члена на \(\frac{1}{2}\). Таким образом, чтобы найти значение \(x\), мы должны продолжить эту закономерность.

Рассмотрим:

\[12 \times \frac{1}{2} = 6\]
\[6 \times \frac{1}{2} = 3\]

Ответ: Значение \(x\) в данной последовательности арифметической прогрессии равно 3.

5) Для того чтобы определить, принадлежит ли число -13 арифметической прогрессии, второй член которой равен 32, а шестой член неизвестен, мы должны установить, требуется ли выполнение условий арифметической прогрессии.

Условие арифметической прогрессии состоит в том, что разница между последовательными членами должна быть постоянной.

Первый шаг: Найдем разницу (d) между вторым (a2) и шестым членом (a6):

\[a2 = a1 + d\]
\[a6 = a1 + 5d\]

Из условия известно:

\[a2 = 32\]
\[a6 = -13\]

Теперь мы можем создать два уравнения с двумя неизвестными:

\[32 = a1 + d\]
\[-13 = a1 + 5d\]

Решим эту систему уравнений методом исключения или методом подстановки.

\[32 = -13 + 6d\]

Решаем:

\[45 = 6d\]
\[d = \frac{45}{6}\]
\[d = 7.5\]

Теперь мы можем использовать найденное значение разницы для проверки, принадлежит ли число -13 арифметической прогрессии:

\[a6 = a1 + 5d\]
\[-13 = a1 + 5 \cdot 7.5\]
\[-13 = a1 + 37.5\]
\[a1 = -13 - 37.5\]
\[a1 = -50.5\]

Таким образом, последовательность начинается с -50.5 и разница между последовательными членами равна 7.5. Чтобы убедиться, принадлежит ли -13 этой арифметической прогрессии, мы можем подставить это значение в выражение для n-ого члена арифметической прогрессии. Если получим -13, то -13 принадлежит данной прогрессии.

\[a_n = a_1 + (n-1)d\]

\[a_n = -50.5 + (n-1) \cdot 7.5\]

Подставляем \(a_6 = -13\):

\[-13 = -50.5 + (6-1) \cdot 7.5\]

\[6 \cdot 7.5 = 37.5\]

\[-13 = -50.5 + 37.5\]

\[-13 = -13\]

Уравнение верно. Таким образом, число -13 принадлежит арифметической прогрессии.