30 а) Как изменится энергия воздушного конденсатора, если увеличить расстояние между пластинами в два раза и добавить

Задача 30 а)

Энергия \(E\) воздушного конденсатора, который состоит из пары пластин, определяется формулой:

\[E = \dfrac{1}{2} C U^2,\]

где \(C\) - ёмкость конденсатора, \(U\) - напряжение на конденсаторе.

При увеличении расстояния между пластинами в два раза, ёмкость конденсатора \(C\) уменьшается в два раза. Это связано с тем, что ёмкость конденсатора зависит от геометрических параметров, в данном случае от площади пластин и расстояния между ними:

\[C \propto \dfrac{S}{d},\]

где \(S\) - площадь пластин, \(d\) - расстояние между пластинами. Поскольку расстояние между пластинами увеличивается в два раза, то ёмкость конденсатора уменьшается в два раза:

\[C" = \dfrac{C}{2}.\]

Далее, при добавлении диэлектрика с диэлектрической проницаемостью \(k\) внутрь конденсатора, ёмкость конденсатора изменяется согласно формуле:

\[C" = k \cdot C.\]

Подставляя значение \(C" = \dfrac{C}{2}\), получаем:

\[\dfrac{C}{2} = k \cdot C.\]

Разделим обе части уравнения на \(C\):

\[\dfrac{1}{2} = k.\]

Теперь можем найти новую энергию \(E"\) воздушного конденсатора:

\[E" = \dfrac{1}{2} C" U^2.\]

Подставляем значение \(C" = \dfrac{C}{2}\):

\[E" = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{C}{2} U^2.\]

Далее, подставляем значение ёмкости \(C = \dfrac{S}{d}\):

\[E" = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\dfrac{S}{d}}{2} U^2.\]

Сокращаем дробь:

\[E" = \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{S}{d} U^2.\]

Таким образом, энергия воздушного конденсатора изменится в \(\dfrac{1}{4}\) раза при увеличении расстояния между пластинами в два раза и добавлении диэлектрика с диэлектрической проницаемостью \(6\).

Задача 30 б)

При параллельном включении спиралей время закипания чайника определяется временем закипания самой медленной спирали.

При включении одной спирали вода закипает через 6 минут, а при включении другой - через 12 минут. Значит, вторая спираль работает в два раза медленнее первой.

Таким образом, время закипания чайника при параллельном включении обеих спиралей будет равно 12 минут, так как это время нужно для того, чтобы вода закипела на медленной спирали.