3. Предоставьте значения для неизвестных элементов. Цилиндр. Известны площадь боковой поверхности S = πR5H и объем

Рассмотрим каждую задачу по порядку.

1. Для цилиндра известны площадь боковой поверхности \(S\) и объем \(V\):

\[S = \pi R \cdot 2H, \quad V = \pi R^2 \cdot H.\]

Для нахождения неизвестных значений \(R\) и \(H\) воспользуемся системой уравнений:

\[\begin{cases} S = \pi R \cdot 2H\\ V = \pi R^2 \cdot H \end{cases}\]

Соотношение между площадью боковой поверхности и объемом цилиндра показывает, что в данном случае возможно найти значения для \(R\) и \(H\).

Перепишем систему уравнений, выразив неизвестные значения:

\[\begin{cases} 2H = \frac{S}{\pi R}\\ H = \frac{V}{\pi R^2} \end{cases}\]

Из второго уравнения выразим \(H\):

\[H = \frac{V}{\pi R^2}.\]

Подставляем это значение \(H\) в первое уравнение:

\[2 \cdot \frac{V}{\pi R^2} = \frac{S}{\pi R}.\]

Теперь, сократив обе части уравнения на \(\frac{2}{\pi}\), получим:

\[\frac{V}{R^2} = \frac{S}{2R}.\]

Умножив обе части уравнения на \(R\), получим:

\[VR = \frac{S}{2}.\]

Теперь, для нахождения значения \(R\), поделим обе части уравнения на \(V\):

\[R = \frac{S}{2V}.\]

На этом этапе мы нашли значение \(R\) для данной задачи. Теперь найдем значение \(H\), подставив \(R\) во второе уравнение:

\[H = \frac{V}{\pi \left(\frac{S}{2V}\right)^2}.\]

Выполнив вычисления, получим:

\[H = \frac{4V^2}{\pi S^2}.\]

Таким образом, ответ на задачу о значениях \(R\) и \(H\) для данного цилиндра:

\[R = \frac{S}{2V}, \quad H = \frac{4V^2}{\pi S^2}.\]

2. Перейдем к задаче о конусе. Известны площадь основания \(S\), высота \(H\) и образующая \(L\):

\[S = \pi R^2, \quad H = 15, \quad L = 6.\]

Для нахождения неизвестных значений \(R\), \(H\) и \(L\) воспользуемся системой уравнений:

\[\begin{cases} S = \pi R^2\\ H = 15\\ L = \sqrt{R^2 + H^2} \end{cases}\]

Первое уравнение позволяет нам найти значение \(R\), подставляя \(S\) вместо \(\pi R^2\):

\[\pi R^2 = S.\]

Отсюда получаем:

\[R = \sqrt{\frac{S}{\pi}}.\]

Для нахождения \(\sqrt{R^2 + H^2}\) воспользуемся третьим уравнением:

\[\sqrt{R^2 + H^2} = L.\]

Возводим в квадрат обе части уравнения, чтобы избавиться от корня:

\[R^2 + H^2 = L^2.\]

Подставляем найденное значение \(R\):

\[\left(\sqrt{\frac{S}{\pi}}\right)^2 + H^2 = L^2.\]

Сокращаем выражение:

\[\frac{S}{\pi} + H^2 = L^2.\]

Теперь находим значение \(H^2\):

\[H^2 = L^2 - \frac{S}{\pi}.\]

Получаем значение \(H\):

\[H = \sqrt{L^2 - \frac{S}{\pi}}.\]

Таким образом, ответ на задачу о значениях \(R\), \(H\) и \(L\) для данного конуса:

\[R = \sqrt{\frac{S}{\pi}}, \quad H = \sqrt{L^2 - \frac{S}{\pi}}, \quad L = 6.\]

3. Наконец, перейдем к задаче о сфере. Известна только площадь поверхности \(S\):

\[S = \pi R \sqrt{10}.\]

Для нахождения значения \(R\) воспользуемся уравнением:

\[S = 4\pi R^2.\]

Подставляем значение \(S\):

\[\pi R \sqrt{10} = 4\pi R^2.\]

Сокращаем это уравнение:

\[\sqrt{10} = 4R.\]

Теперь находим значение \(R\):

\[R = \frac{\sqrt{10}}{4}.\]

Ответ на задачу о значении \(R\) для данной сферы:

\[R = \frac{\sqrt{10}}{4}.\]

4. В задаче о шпаргалке известны несколько площадей, \(S_p\) и \(S\):

\[S_p = 2\pi R(R+H), \quad S_p = \pi R(L+R), \quad S = 4\pi R^2.\]

Для нахождения неизвестных значений \(R\), \(H\) и \(L\) воспользуемся системой уравнений:

\[\begin{cases} S_p = 2\pi R(R+H)\\ S_p = \pi R(L+R)\\ S = 4\pi R^2 \end{cases}\]

Таким образом, первое и второе уравнения позволяют нам выразить \(R\) и \(H\):

\[2R(R+H) = L+R.\]

Раскрываем скобки в левой части уравнения:

\[2R^2 + 2RH = L+R.\]

Выражаем \(H\) через \(R\):

\[H = \frac{L+R-2R^2}{2R}.\]

Теперь находим значение \(L\) через \(R\) и \(H\), подставив найденное выражение во второе уравнение:

\[\pi R \left(\frac{L+R-2R^2}{2R}+R\right) = S_p.\]

Сокращаем выражение:

\[\frac{L+R-2R^2}{2}=\frac{S_p}{\pi}.\]

Умножаем обе части уравнения на 2:

\[L+R-2R^2 = \frac{2S_p}{\pi}.\]

Переносим \(R\) влево:

\[L-2R^2 = R - \frac{2S_p}{\pi}.\]

Таким образом, для нахождения значение \(L\) воспользуемся уравнением:

\[L = 2R^2 + R - \frac{2S_p}{\pi}.\]

Таким образом, ответ на задачу о значениях \(R\), \(H\) и \(L\) для данной фигуры:

\[R,\ H\ \text{выражены выше},\ L = 2R^2 + R - \frac{2S_p}{\pi}.\]