3. Предоставьте значения для неизвестных элементов. Цилиндр. Известны площадь боковой поверхности S = πR5H и объем

Рассмотрим каждую задачу по порядку.

1. Для цилиндра известны площадь боковой поверхности $S$ и объем $V$:

$$S=\pi R\cdot 2H,V=\pi R^2\cdot H.$$

Для нахождения неизвестных значений $R$ и $H$ воспользуемся системой уравнений:

$$\{\begin{array}{l}S=\pi R\cdot 2H\\ V=\pi R^2\cdot H\end{array}$$

Соотношение между площадью боковой поверхности и объемом цилиндра показывает, что в данном случае возможно найти значения для $R$ и $H$.

Перепишем систему уравнений, выразив неизвестные значения:

$$\{\begin{array}{l}2H=\frac{S}{\pi R}\\ H=\frac{V}{\pi R^2}\end{array}$$

Из второго уравнения выразим $H$:

$$H=\frac{V}{\pi R^2}.$$

Подставляем это значение $H$ в первое уравнение:

$$2\cdot \frac{V}{\pi R^2}=\frac{S}{\pi R}.$$

Теперь, сократив обе части уравнения на $\frac{2}{\pi }$, получим:

$$\frac{V}{R^2}=\frac{S}{2R}.$$

Умножив обе части уравнения на $R$, получим:

$$VR=\frac{S}{2}.$$

Теперь, для нахождения значения $R$, поделим обе части уравнения на $V$:

$$R=\frac{S}{2V}.$$

На этом этапе мы нашли значение $R$ для данной задачи. Теперь найдем значение $H$, подставив $R$ во второе уравнение:

$$H=\frac{V}{\pi {\left(\frac{S}{2V}\right)}^2}.$$

Выполнив вычисления, получим:

$$H=\frac{4V^2}{\pi S^2}.$$

Таким образом, ответ на задачу о значениях $R$ и $H$ для данного цилиндра:

$$R=\frac{S}{2V},H=\frac{4V^2}{\pi S^2}.$$

2. Перейдем к задаче о конусе. Известны площадь основания $S$, высота $H$ и образующая $L$:

$$S=\pi R^2,H=15,L=6.$$

Для нахождения неизвестных значений $R$, $H$ и $L$ воспользуемся системой уравнений:

$$\{\begin{array}{l}S=\pi R^2\\ H=15\\ L=\sqrt{R^2+H^2}\end{array}$$

Первое уравнение позволяет нам найти значение $R$, подставляя $S$ вместо $\pi R^2$:

$$\pi R^2=S.$$

Отсюда получаем:

$$R=\sqrt{\frac{S}{\pi }}.$$

Для нахождения $\sqrt{R^2+H^2}$ воспользуемся третьим уравнением:

$$\sqrt{R^2+H^2}=L.$$

Возводим в квадрат обе части уравнения, чтобы избавиться от корня:

$$R^2+H^2=L^2.$$

Подставляем найденное значение $R$:

$${\left(\sqrt{\frac{S}{\pi }}\right)}^2+H^2=L^2.$$

Сокращаем выражение:

$$\frac{S}{\pi }+H^2=L^2.$$

Теперь находим значение $H^2$:

$$H^2=L^2-\frac{S}{\pi }.$$

Получаем значение $H$:

$$H=\sqrt{L^2-\frac{S}{\pi }}.$$

Таким образом, ответ на задачу о значениях $R$, $H$ и $L$ для данного конуса:

$$R=\sqrt{\frac{S}{\pi }},H=\sqrt{L^2-\frac{S}{\pi }},L=6.$$

3. Наконец, перейдем к задаче о сфере. Известна только площадь поверхности $S$:

$$S=\pi R\sqrt{10}.$$

Для нахождения значения $R$ воспользуемся уравнением:

$$S=4\pi R^2.$$

Подставляем значение $S$:

$$\pi R\sqrt{10}=4\pi R^2.$$

Сокращаем это уравнение:

$$\sqrt{10}=4R.$$

Теперь находим значение $R$:

$$R=\frac{\sqrt{10}}{4}.$$

Ответ на задачу о значении $R$ для данной сферы:

$$R=\frac{\sqrt{10}}{4}.$$

4. В задаче о шпаргалке известны несколько площадей, $S_p$ и $S$:

$$S_p=2\pi R(R+H),S_p=\pi R(L+R),S=4\pi R^2.$$

Для нахождения неизвестных значений $R$, $H$ и $L$ воспользуемся системой уравнений:

$$\{\begin{array}{l}{S}_p=2\pi R(R+H)\\ S_p=\pi R(L+R)\\ S=4\pi R^2\end{array}$$

Таким образом, первое и второе уравнения позволяют нам выразить $R$ и $H$:

$$2R(R+H)=L+R.$$

Раскрываем скобки в левой части уравнения:

$$2R^2+2RH=L+R.$$

Выражаем $H$ через $R$:

$$H=\frac{L+R-2R^2}{2R}.$$

Теперь находим значение $L$ через $R$ и $H$, подставив найденное выражение во второе уравнение:

$$\pi R(\frac{L+R-2R^2}{2R}+R)=S_p.$$

Сокращаем выражение:

$$\frac{L+R-2R^2}{2}=\frac{S_p}{\pi }.$$

Умножаем обе части уравнения на 2:

$$L+R-2R^2=\frac{2S_p}{\pi }.$$

Переносим $R$ влево:

$$L-2R^2=R-\frac{2S_p}{\pi }.$$

Таким образом, для нахождения значение $L$ воспользуемся уравнением:

$$L=2R^2+R-\frac{2S_p}{\pi }.$$

Таким образом, ответ на задачу о значениях $R$, $H$ и $L$ для данной фигуры:

$$R,H\text{выражены выше},L=2R^2+R-\frac{2S_p}{\pi }.$$