№3. Найти площадь параллелограмма, если его смежные стороны равны 24 см и 28 см, а тупой угол равен 150°

Чтобы решить задачи, нам понадобятся некоторые формулы и свойства параллелограмма, ромба и треугольника.

Параллелограмм:
1. Площадь параллелограмма можно найти, умножив длину одного основания на высоту, опущенную на это основание. Таким образом, формула для нахождения площади параллелограмма будет: \(S = a \times h\), где \(a\) - длина одного основания, а \(h\) - высота, опущенная на это основание.
2. В параллелограмме противолежащие стороны равны.

Ромб:
1. Площадь ромба можно найти, умножив половину произведения длин его диагоналей. То есть формула для нахождения площади ромба будет: \(S = \frac{{d_1 \times d_2}}{2}\), где \(d_1\) и \(d_2\) - длины диагоналей.

Треугольник:
1. Высота, проведенная к стороне треугольника, делит эту сторону на две сегменты, пропорциональные двум другим сторонам. Это свойство называется теоремой о высоте треугольника.
2. Формула для нахождения площади треугольника по двум сторонам и синусу угла между ними: \(S = \frac{{a \times b \times \sin(\angle C)}}{2}\), где \(a\) и \(b\) - длины двух сторон, \(\angle C\) - угол между этими сторонами.

Теперь решим каждую задачу:

№3. Найти площадь параллелограмма, если его смежные стороны равны 24 см и 28 см, а тупой угол равен 150°.

Для начала найдем высоту параллелограмма. Когда смежные стороны параллелограмма и угол между ними известны, высоту можно найти с помощью теоремы о косинусах (применяем для треугольника, образованного смежными сторонами и высотой). Обозначим смежные стороны параллелограмма как \(a\) и \(b\), а угол между ними - как \(\angle C\). Тогда высоту \(h\) можно найти по формуле:

\[h = \sqrt{a^2 - b^2 \cos^2(\angle C)}\]

Подставляя значения, получаем:

\[h = \sqrt{24^2 - 28^2 \cos^2(150^\circ)}\]

После вычислений получаем \(h = \sqrt{576 - 28^2 \times \frac{3}{4}}\). Так как тупой угол равен 150°, то \(\cos(150^\circ) = -\frac{1}{2}\). Подставляя это значение и продолжая вычисления, получаем \(h = \sqrt{576 - 28^2 \times \frac{3}{4}} = \sqrt{576 - 28^2 \times \frac{3}{4}}\) см.

Теперь, когда мы знаем высоту, можем найти площадь параллелограмма:

\[S = a \times h = 24 \times \sqrt{576 - 28^2 \times \frac{3}{4}}\] см².

Таким образом, площадь параллелограмма равна \(24 \times \sqrt{576 - 28^2 \times \frac{3}{4}}\) см².

№4. Определить площадь ромба, если его диагонали равны 22 см и 1,1 дм (или 11 см).

Для нахождения площади ромба, зная длины его диагоналей, применим формулу:

\[S = \frac{{d_1 \times d_2}}{2}\],

где \(d_1\) и \(d_2\) - длины диагоналей. В нашем случае \(d_1 = 22\) см и \(d_2 = 11\) см.

Подставляя значения и продолжая вычисления, получаем:

\[S = \frac{{22 \times 11}}{2}\] см².

Таким образом, площадь ромба равна \(\frac{{22 \times 11}}{2}\) см².

№5. Вычислить высоту, проведенную к стороне ВС треугольника АВС, если стороны треугольника АВ и ВС равны 18 см и 20 см, соответственно, а высота, проведенная к стороне АВ, равна...

Для нахождения высоты треугольника, проведенной к стороне, нам понадобится использовать свойство теоремы о высоте треугольника.
Согласно этому свойству, сторона, на которую опущена высота, делится другие стороны пропорционально. Обозначим стороны треугольника как \(a\), \(b\) и \(c\), а высоту, проведенную к стороне \(a\), как \(h_a\). Тогда можно записать пропорцию:

\(\frac{h_a}{b} = \frac{c}{a}\).

Подставляя известные значения, получаем:

\(\frac{h_a}{20} = \frac{18}{c}\).

Теперь найдем длину стороны \(c\) с помощью теоремы Пифагора:

\(c = \sqrt{a^2 - b^2}\).

Подставляя значения и продолжая вычисления, получаем:

\(c = \sqrt{18^2 - 20^2}\) см.

Используя найденное значение \(c\), мы можем выразить \(h_a\):

\(\frac{h_a}{20} = \frac{18}{\sqrt{18^2 - 20^2}}\).

Выражая \(h_a\), получаем:

\(h_a = \frac{18 \times 20}{\sqrt{18^2 - 20^2}}\).

Таким образом, высота, проведенная к стороне \(ВС\) треугольника \(АВС\), равна \(\frac{18 \times 20}{\sqrt{18^2 - 20^2}}\) см.