3: 7. Які числа слід знайти, якщо сума чотирьох чисел дорівнює 386, а їх відношення між собою таке: перше число

Давайте решим задачу пошагово.

Перш за все, давайте позначимо чотири числа, які нам потрібно знайти. Нехай перше число буде \( x \), друге число буде \( y \), третє число буде \( z \), а четверте число буде \( w \).

За заданими умовами, ми маємо такі відношення між числами:

\[
\frac{x}{y} = \frac{2}{5} \quad (1)
\]
\[
\frac{y}{z} = \frac{3}{4} \quad (2)
\]
\[
\frac{z}{w} = \frac{3}{7} \quad (3)
\]

Також задано, що сума цих чотирьох чисел дорівнює 386:

\[
x + y + z + w = 386 \quad (4)
\]

Для того, щоб розв"язати систему рівнянь, ми спочатку використаємо рівняння (1) і (2). З них ми можемо знайти значення \( y \) і \( z \).

Ми помножимо рівняння (1) на \( \frac{4}{2} \) для того, щоб отримати відношення \( x \) до \( z \):

\[
\frac{x}{y} \cdot \frac{4}{2} = \frac{x}{z} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}
\]

Тепер, враховуючи рівняння (2), можемо зрозуміти, що маємо:

\[
\frac{z}{z} = \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{5}
\]

Отже, \( x \) дорівнює \( \frac{3}{5} \cdot z \). Ми тепер можемо записати \( x \) через \( z \).

Тепер, використовуючи рівняння (3), ми можемо знайти \( w \). Помножимо рівняння (3) на \( \frac{z}{3} \), отримаємо:

\[
\frac{z}{w} \cdot \frac{z}{3} = \frac{3}{7} \cdot \frac{z}{3} = \frac{z^2}{7} = \frac{z^2}{21}
\]

Тепер ми можемо записати \( w \) через \( z \).

За рівнянням (4), сума всіх чисел дорівнює 386:

\[
x + y + z + w = 386
\]

Замість \( x \), \( y \) і \( w \) ми можемо підставити їх вирази через \( z \), які ми знайшли раніше.

Після підстановки виразів отримаємо рівняння тільки з однією невідомою \( z \):

\[
\frac{3}{5} \cdot z + z + z + \frac{z^2}{21} = 386
\]

Знайшовши це квадратне рівняння, ми можемо розв"язати його за допомогою факторизації, знаходження коренів або використовуючи квадратне рівняння. Розв"язавши його, отримаємо значення \( z \), а потім можемо знайти інші числа \( x \), \( y \) і \( w \) за допомогою знайдених раніше виразів.

Будь ласка, дайте мені хвилинку, щоб розв"язати це рівняння і підрахувати значення чисел.