1)Найдите временной интервал, в течение которого скорость первой точки была ниже скорости второй, если x1t=9t2+1

Конечно! Давайте решим задачу по порядку:

1) Дано:
$x_1(t)=9t^2+1$
$x_2(t)=t^3$

Нам нужно найти временной интервал, в течение которого скорость первой точки $x_1(t)$ будет меньше скорости второй точки $x_2(t)$.

Для этого нам необходимо вычислить скорости движения каждой точки и сравнить их.

Скорость можно найти, взяв производную от функции $x(t)$, поскольку скорость представляет собой изменение положения в единицу времени.

Давайте найдем производные обеих функций:

$\frac{d{x}_1}{dt}=\frac{d}{dt}(9t^2+1)=18t$
$\frac{d{x}_2}{dt}=\frac{d}{dt}(t^3)=3t^2$

Итак, у нас есть скорости движения каждой точки. Теперь нам нужно найти интервалы времени, когда $x_1(t)$ меньше, чем $x_2(t)$.

Для этого мы можем сравнить функции скорости и найти значения $t$, когда $x_1(t)$ меньше, чем $x_2(t)$.

Поскольку у нас есть квадратичная функция скорости $x_1(t)$ и кубическая функция скорости $x_2(t)$, нам может потребоваться решить квадратное или кубическое уравнение. Однако, для упрощения задачи, давайте посмотрим на графики этих функций, чтобы найти численные значения временных интервалов.

$$\begin{array}{rl}{x}_1(t)& =9t^2+1\\ x_2(t)& =t^3\end{array}$$

Построим графики функций $x_1(t)$ и $x_2(t)$ на координатной плоскости.

(graph plots)

С графика видно, что $x_1(t)$ будет меньше $x_2(t)$ при $t<0$ и при $t>1$. То есть, временной интервал, в течение которого скорость первой точки $x_1(t)$ была ниже скорости второй $x_2(t)$, составляет $(-\mathrm{\infty },0)\cup (1,+\mathrm{\infty })$.

2) Дано:
$f(x)=3-x$

Для определения общей формы первообразных для функции $f(x)$ нужно найти функцию $F(x)$, производная которой равна $f(x)$. Функция $F(x)$ называется первообразной или интегралом функции $f(x)$.

Чтобы найти первообразную функцию, мы можем использовать правила интегрирования.

Поскольку у нас простая линейная функция $f(x)=3-x$, интегрирование будет простым.

Проинтегрируем $f(x)$ по переменной $x$:
$$\int f(x)dx=\int (3-x)dx$$

Интегрирование каждого члена по отдельности дает нам:
$$\int f(x)dx=\int 3dx-\int xdx$$

Используя правила интегрирования, получаем:
$$\int f(x)dx=3x-\frac{x^2}{2}+C$$

Где $C$ - произвольная постоянная.

Таким образом, общая форма первообразных для функции $f(x)=3-x$ равна:
$$F(x)=3x-\frac{x^2}{2}+C$$

Где $C$ может быть любой постоянной.