1)Найдите временной интервал, в течение которого скорость первой точки была ниже скорости второй, если x1t=9t2+1

Конечно! Давайте решим задачу по порядку:

1) Дано:
\(x_1(t) = 9t^2 + 1\)
\(x_2(t) = t^3\)

Нам нужно найти временной интервал, в течение которого скорость первой точки \(x_1(t)\) будет меньше скорости второй точки \(x_2(t)\).

Для этого нам необходимо вычислить скорости движения каждой точки и сравнить их.

Скорость можно найти, взяв производную от функции \(x(t)\), поскольку скорость представляет собой изменение положения в единицу времени.

Давайте найдем производные обеих функций:

\(\frac{{dx_1}}{{dt}} = \frac{{d}}{{dt}} (9t^2 + 1) = 18t\)
\(\frac{{dx_2}}{{dt}} = \frac{{d}}{{dt}} (t^3) = 3t^2\)

Итак, у нас есть скорости движения каждой точки. Теперь нам нужно найти интервалы времени, когда \(x_1(t)\) меньше, чем \(x_2(t)\).

Для этого мы можем сравнить функции скорости и найти значения \(t\), когда \(x_1(t)\) меньше, чем \(x_2(t)\).

Поскольку у нас есть квадратичная функция скорости \(x_1(t)\) и кубическая функция скорости \(x_2(t)\), нам может потребоваться решить квадратное или кубическое уравнение. Однако, для упрощения задачи, давайте посмотрим на графики этих функций, чтобы найти численные значения временных интервалов.

\[
\begin{align*}
x_1(t) & = 9t^2 + 1 \\
x_2(t) & = t^3
\end{align*}
\]

Построим графики функций \(x_1(t)\) и \(x_2(t)\) на координатной плоскости.

(graph plots)

С графика видно, что \(x_1(t)\) будет меньше \(x_2(t)\) при \(t < 0\) и при \(t > 1\). То есть, временной интервал, в течение которого скорость первой точки \(x_1(t)\) была ниже скорости второй \(x_2(t)\), составляет \((- \infty, 0) \cup (1, + \infty)\).

2) Дано:
\(f(x) = 3 - x\)

Для определения общей формы первообразных для функции \(f(x)\) нужно найти функцию \(F(x)\), производная которой равна \(f(x)\). Функция \(F(x)\) называется первообразной или интегралом функции \(f(x)\).

Чтобы найти первообразную функцию, мы можем использовать правила интегрирования.

Поскольку у нас простая линейная функция \(f(x) = 3 - x\), интегрирование будет простым.

Проинтегрируем \(f(x)\) по переменной \(x\):
\[
\int f(x) \, dx = \int (3 - x) \, dx
\]

Интегрирование каждого члена по отдельности дает нам:
\[
\int f(x) \, dx = \int 3 \, dx - \int x \, dx
\]

Используя правила интегрирования, получаем:
\[
\int f(x) \, dx = 3x - \frac{{x^2}}{2} + C
\]

Где \(C\) - произвольная постоянная.

Таким образом, общая форма первообразных для функции \(f(x) = 3 - x\) равна:
\[
F(x) = 3x - \frac{{x^2}}{2} + C
\]

Где \(C\) может быть любой постоянной.