№28.4 На контрольной работе по геометрии преподаватель составил 25 заданий. Ученик подготовился только по 20 заданиям

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо учесть два фактора: количество заданий, которые ученик знает, и порядковый номер его захода на контрольную работу. Давайте рассмотрим каждый случай по очереди.

1) Если ученик зашел первым на контрольную, то ему предстоит решить все 25 заданий. Известно, что он подготовился только по 20 заданиям. Тогда количество заданий, которые он не знает, составляет 25 - 20 = 5.

Вероятность того, что ученик решит задание, которое он не знает, равна \( P(\text{{задание решено}}) = \frac{1}{2} \) (так как задание может быть либо решено, либо нерешено). Тогда вероятность того, что все 5 заданий будут решены неправильно, равна \( P(\text{{все задания решены неправильно}}) = \left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{1}{32} \).

Следовательно, вероятность того, что ученик сдаст контрольную работу, если он зашел первым, будет равна 1 (все 20 заданий, которые он знает, будут решены правильно) минус вероятность того, что все 5 неизвестных заданий будут решены неправильно: \( P(\text{{сдать | зашел первым}}) = 1 - \frac{1}{32} = \frac{31}{32} \).

2) Если ученик зашел вторым на контрольную, то ему также предстоит решить все 25 заданий. В этом случае мы считаем, что первый ученик решал все задания верно (так как нам не дана информация об его ошибках). То есть первый ученик решил правильно все задания, а у нашего ученика есть возможность ошибиться только в заданиях, которые он не знает (5 заданий).

Таким образом, вероятность того, что ученик решит все 5 неизвестных заданий неправильно, будет такой же, как в первом случае \( P(\text{{все задания решены неправильно}}) = \frac{1}{32} \).

Следовательно, вероятность того, что ученик сдаст контрольную работу, если он зашел вторым, будет равна вероятности того, что все 20 заданий, которые ученик знает, будут решены правильно. Так как мы предполагаем, что первый ученик решил все задания правильно, то вероятность решить каждое из них правильно равна 1. Следовательно, вероятность сдать будет равна 1: \( P(\text{{сдать | зашел вторым}}) = 1 \).

Таким образом, вероятности того, что ученик сдаст контрольную работу, составляют:
1) Если ученик зашел первым: \( P(\text{{сдать | зашел первым}}) = \frac{31}{32} \).
2) Если ученик зашел вторым: \( P(\text{{сдать | зашел вторым}}) = 1 \).