27.15 Выполнив процедуру дифференцирования по алгоритму (см. пункт 2 в разделе 27), получите новые формулы

Раздел 27 предлагает алгоритм дифференцирования некоторых функций. Для выполнения данной процедуры, нам необходимо знать несколько правил дифференцирования. Давайте рассмотрим каждую функцию по отдельности и применим алгоритм, описанный в пункте 2 раздела 27.

a) у = х^2 + х

Для начала, нам понадобится знание правила дифференцирования функции \(x^n\), где \(n\) - некоторое число. По этому правилу, производная функции \(x^n\) равна \(nx^{n-1}\).

Применяя это правило, возьмем производную функции \(у = х^2 + х\).
Дифференцируя каждый член этой функции, мы получим:

\[
\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{d}}{{dx}}(х^2) + \frac{{d}}{{dx}}(х)
\]

Согласно текущей функции, мы используем правило дифференцирования для \(х^2\), где \(n = 2\). Получаем:

\[
\frac{{d}}{{dx}}(х^2) = 2х^{2-1} = 2х
\]

Теперь возьмем производную для \(х\):

\[
\frac{{d}}{{dx}}(х) = 1
\]

Теперь мы можем объединить результаты и получить окончательный ответ:

\[
\frac{{dy}}{{dx}} = 2х + 1
\]

б) у = 2х^2 - 3

Для этой функции нам также понадобится знание правила дифференцирования функции \(x^n\).

Применяя такое правило, возьмем производную функции \(у = 2х^2 - 3\):

\[
\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{d}}{{dx}}(2х^2) - \frac{{d}}{{dx}}(3)
\]

Применяя правило для дифференцирования \(2х^2\), где \(n = 2\), получаем:

\[
\frac{{d}}{{dx}}(2х^2) = 2 \cdot 2х^{2-1} = 4х
\]

Так как производная постоянной \(3\) равна нулю, получаем:

\[
\frac{{d}}{{dx}}(3) = 0
\]

Объединяя результаты, получаем:

\[
\frac{{dy}}{{dx}} = 4х
\]

в) у = Зх - 2х^2

Применим аналогичные шаги для этой функции:

\[
\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{d}}{{dx}}(3х) - \frac{{d}}{{dx}}(2х^2)
\]

Дифференцируя каждый член, получим:

\[
\frac{{d}}{{dx}}(3х) = 3
\]

\[
\frac{{d}}{{dx}}(2х^2) = 2 \cdot 2х^{2-1} = 4х
\]

Объединяя результаты, получим:

\[
\frac{{dy}}{{dx}} = 3 - 4х
\]

г) у = х^4

Для этой функции также применим правило дифференцирования функции \(x^n\).

\[
\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{d}}{{dx}}(х^4)
\]

\[
\frac{{d}}{{dx}}(х^4) = 4х^{4-1} = 4х^3
\]

Итак, производная функции \(у = х^4\) равна:

\[
\frac{{dy}}{{dx}} = 4х^3
\]

Таким образом, мы получили формулы для нахождения производных от данных функций:

a) \(\frac{{dy}}{{dx}} = 2х + 1\)

б) \(\frac{{dy}}{{dx}} = 4х\)

в) \(\frac{{dy}}{{dx}} = 3 - 4х\)

г) \(\frac{{dy}}{{dx}} = 4х^3\)

Надеюсь, эти подробные решения помогут вам лучше понять процедуру дифференцирования данных функций. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их!