24.8. Упр. А: Как изменится таблица 28, если измениться закон распределения случайной величины: 12, 0.3, 0.3, 0.2, 0.1?

24.8. Чтобы понять, как изменится таблица 28, когда изменяется закон распределения случайной величины, нужно учитывать, что закон распределения показывает вероятность появления каждого значения случайной величины. В данном случае, новый закон распределения задан следующими значениями: 12, 0.3, 0.3, 0.2, 0.1.

Исходная Таблица 28:
Значение случайной величины (X) | Вероятность (P)
----------------------------------- | -------------------
1 | 0.1
2 | 0.2
3 | 0.3
4 | 0.2
5 | 0.1
6 | 0.1

Чтобы получить измененную таблицу, нужно заменить значения вероятности в соответствии с новым законом распределения:

Значение случайной величины (X) | Вероятность (P)
----------------------------------- | -------------------
1 | 0.3
2 | 0.3
3 | 0.2
4 | 0.1
5 | 0.1

Таким образом, измененная таблица 28 будет выглядеть следующим образом:

Значение случайной величины (X) | Вероятность (P)
----------------------------------- | -------------------
1 | 0.3
2 | 0.3
3 | 0.2
4 | 0.1
5 | 0.1

24.1. Математическое ожидание случайной величины можно найти, умножив каждое значение случайной величины на соответствующую вероятность и сложив полученные произведения.

Для данной таблицы распределения случайной величины:

Значение случайной величины (X) | Вероятность (P)
----------------------------------- | -------------------
1 | 24.1
2 | 8
3 | 6
4 | 7
5 | 5

Математическое ожидание вычисляется следующим образом:

Математическое ожидание = (1 * 24.1) + (2 * 8) + (3 * 6) + (4 * 7) + (5 * 5)

Математическое ожидание = 24.1 + 16 + 18 + 28 + 25

Математическое ожидание = 111.1

Таким образом, математическое ожидание для данной таблицы случайной величины равно 111.1.

4.4. Дисперсия случайной величины можно найти, используя формулу:

Дисперсия = Сумма((X - MX)^2 * P)

где X - значение случайной величины, MX - математическое ожидание, P - вероятность.

Для данной таблицы распределения случайной величины:

Значение случайной величины (X) | Вероятность (P)
----------------------------------- | -------------------
20 | 0.4
18 | 0.2
8 | 0.1
12 | 0.2
X | 0.1
2 | 0.2
3 | 0.1

Заметим, что значение X отсутствует. Чтобы найти дисперсию, нужно найти значение X.

Для этого, можем воспользоваться условием того, что сумма вероятностей всех значений случайной величины должна быть равна 1:

0.4 + 0.2 + 0.1 + 0.2 + 0.1 + X + 0.2 + 0.1 = 1

1.0 + X = 1

X = 0

Теперь мы можем заполнить таблицу:

Значение случайной величины (X) | Вероятность (P)
----------------------------------- | -------------------
20 | 0.4
18 | 0.2
8 | 0.1
12 | 0.2
0 | 0.1
2 | 0.2
3 | 0.1

Теперь можем посчитать дисперсию:

Дисперсия = ((20 - 0)^2 * 0.4) + ((18 - 0)^2 * 0.2) + ((8 - 0)^2 * 0.1) + ((12 - 0)^2 * 0.2) + ((0 - 0)^2 * 0.1) + ((2 - 0)^2 * 0.2) + ((3 - 0)^2 * 0.1)

Дисперсия = (400 * 0.4) + (324 * 0.2) + (64 * 0.1) + (144 * 0.2) + (0 * 0.1) + (4 * 0.2) + (9 * 0.1)

Дисперсия = 224 + 64.8 + 6.4 + 28.8 + 0 + 0.8 + 0.9

Дисперсия = 325.7

Таким образом, дисперсия для данной таблицы случайной величины равна 325.7.

24.3. Среднее квадратичное отклонение случайной величины можно найти, вычислив квадратный корень из дисперсии. Для данной таблицы распределения случайной величины:

Значение случайной величины (X) | Вероятность (P)
----------------------------------- | -------------------
10 | 0.2
0.2 | 0.4
0.4 | 0.2

Сначала нужно найти дисперсию, используя формулу из предыдущего вопроса:

Дисперсия = ((10 - MX)^2 * 0.2) + ((0.2 - MX)^2 * 0.4) + ((0.4 - MX)^2 * 0.2)

Здесь MX - математическое ожидание.

Далее, нужно посчитать математическое ожидание:

Математическое ожидание = (10 * 0.2) + (0.2 * 0.4) + (0.4 * 0.2)

Математическое ожидание = 2 + 0.08 + 0.08

Математическое ожидание = 2.16

Теперь, можем посчитать дисперсию:

Дисперсия = ((10 - 2.16)^2 * 0.2) + ((0.2 - 2.16)^2 * 0.4) + ((0.4 - 2.16)^2 * 0.2)

Дисперсия = (7.84 * 0.2) + (1.7184 * 0.4) + (1.4016 * 0.2)

Дисперсия = 1.568 + 0.68736 + 0.28032

Дисперсия = 2.53568

И, наконец, среднее квадратичное отклонение (сигма) можно найти, вычислив квадратный корень из дисперсии:

Среднее квадратичное отклонение (σ) = √(2.53568)

Среднее квадратичное отклонение (σ) ≈ 1.591

Таким образом, среднее квадратичное отклонение для данной таблицы случайной величины приближенно равно 1.591.

24.4. Для заполнения неполного закона распределения случайной величины нужно определить отсутствующие значения вероятностей на основе известных данных. Допустим, дана следующая неполная таблица распределения случайной величины:

Значение случайной величины (X) | Вероятность (P)
----------------------------------- | --------------------
10 | 0.2
12 | 0.4
14 | ?
16 | ?

Значение вероятности для 14 и 16 можно определить, используя условие, что сумма всех вероятностей должна быть равна 1. Таким образом, можно вычислить недостающую вероятность, вычитая сумму из единицы:

Вероятность для 14 = 1 - (0.2 + 0.4)

Вероятность для 14 = 0.4

Аналогично, можно вычислить вероятность для 16:

Вероятность для 16 = 1 - (0.2 + 0.4 + 0.4)

Вероятность для 16 = 0

Теперь, мы можем заполнить неполный закон распределения случайной величины:

Значение случайной величины (X) | Вероятность (P)
----------------------------------- | --------------------
10 | 0.2
12 | 0.4
14 | 0.4
16 | 0

Таким образом, весь закон распределения случайной величины теперь полностью заполнен.