24.5. What is the value of the expression using addition formulas: 1) sin105; 2) cos105; 3) sin165; 4) cos165

Для решения этой задачи, нам необходимо использовать формулы сложения тригонометрических функций. Давайте рассмотрим каждый пункт по очереди:

1) Для нахождения значения выражения sin105, мы можем использовать формулу сложения \(\sin(x + y) = \sin(x)\cos(y) + \cos(x)\sin(y)\). Здесь у нас есть \(x = 60^\circ\) и \(y = 45^\circ\), так как \(105^\circ = 60^\circ + 45^\circ\). А также мы знаем значения синуса и косинуса для \(60^\circ\) и \(45^\circ\):

\(\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\),
\(\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}\),
\(\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\),
\(\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\).

Подставляя эти значения в формулу, получаем:
\(\sin(105^\circ) = \sin(60^\circ + 45^\circ) = \sin(60^\circ)\cos(45^\circ) + \cos(60^\circ)\sin(45^\circ)\).
\(\sin(105^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\).
\(\sin(105^\circ) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\).

2) Аналогично, для нахождения значения выражения cos105, мы используем ту же формулу:
\(\cos(105^\circ) = \cos(60^\circ + 45^\circ) = \cos(60^\circ)\cos(45^\circ) - \sin(60^\circ)\sin(45^\circ)\).
\(\cos(105^\circ) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\).
\(\cos(105^\circ) = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}\).

3) Аналогично, для нахождения значения выражения sin165, мы используем формулу:
\(\sin(165^\circ) = \sin(60^\circ + 105^\circ) = \sin(60^\circ)\cos(105^\circ) + \cos(60^\circ)\sin(105^\circ)\).
\(\sin(165^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\).
\(\sin(165^\circ) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{18} + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{8}\).
\(\sin(165^\circ) = \frac{2\sqrt{6} + \sqrt{2} - \sqrt{18}}{8}\).

4) Для нахождения значения выражения cos165, мы используем формулу:
\(\cos(165^\circ) = \cos(60^\circ + 105^\circ) = \cos(60^\circ)\cos(105^\circ) - \sin(60^\circ)\sin(105^\circ)\).
\(\cos(165^\circ) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\).
\(\cos(165^\circ) = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{8} - \frac{\sqrt{18} + \sqrt{6}}{8}\).
\(\cos(165^\circ) = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6} - \sqrt{18} - \sqrt{6}}{8}\).
\(\cos(165^\circ) = \frac{\sqrt{2} - 2\sqrt{6} - \sqrt{18}}{8}\).

Таким образом, ответы на задачу:
1) \(\sin(105^\circ) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\),
2) \(\cos(105^\circ) = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}\),
3) \(\sin(165^\circ) = \frac{2\sqrt{6} + \sqrt{2} - \sqrt{18}}{8}\),
4) \(\cos(165^\circ) = \frac{\sqrt{2} - 2\sqrt{6} - \sqrt{18}}{8}\).