№2. Яка довжина бісектриси, проведеної до катета прямокутного трикутника, якщо катет прилеглий до кута 30° має довжину

Задача №2. Чтобы найти длину биссектрисы, проведенной к катету прямоугольного треугольника, мы можем воспользоваться теоремой о биссектрисе.

В данном случае, у нас есть прямоугольный треугольник, где один из катетов равен 18 см, а угол при этом катете составляет 30°. Мы ищем длину биссектрисы, проведенной к этому катету.

Теорема о биссектрисе гласит, что биссектриса треугольника делит противолежащую сторону пропорционально отношению длин других двух сторон треугольника.

Давайте обозначим длину биссектрисы как \(x\). По условию задачи, длина катета равна 18 см. Для нахождения длины другого катета, можем использовать тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике.

Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике с углом 30°, противолежащий катет равен половине гипотенузы. Таким образом, длина второго катета составляет \(18 \, \text{см} \times \frac{1}{2} = 9 \, \text{см}\).

Теперь мы можем применить теорему о биссектрисе. Пусть \(BC\) - это противолежащая сторона, \(AB\) и \(AC\) - это длины других двух сторон треугольника. Тогда справедливо следующее соотношение:

\(\frac{AB}{x} = \frac{AC}{9}\)

Мы знаем, что длина противолежащего катета \(AB\) равна 18 см, а длина второго катета \(AC\) равна 9 см. Подставляя данную информацию в уравнение, мы получим:

\(\frac{18}{x} = \frac{9}{9}\)

Упрощая это соотношение, мы получим:

\(\frac{18}{x} = 1\)

Чтобы избавиться от дроби в левой части уравнения, мы можем перемножить обе стороны на \(x\):

\(18 = x \times 1\)

Таким образом, длина биссектрисы равна 18 см.

Ответ: Длина биссектрисы, проведенной к катету прямоугольного треугольника, равна 18 см.

Задача №3. Чтобы найти значения углов треугольника АВС, мы можем использовать свойства треугольников и углы.

По условию задачи, висота АН делит угол А на два угла. Пусть один из этих углов равен \(x\), тогда другой угол также будет равен \(x\). Кроме того, известно, что кут ВАН равен 38°, а угол САН равен 42°.

Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому мы можем записать следующее уравнение:

\(A + B + C = 180\)

Подставляя известные значения и обозначения, мы получаем:

\(2x + 38 + 42 = 180\)

Упрощая это уравнение, мы получаем:

\(2x + 80 = 180\)

Вычитая 80 из обеих частей уравнения, мы получаем:

\(2x = 100\)

Чтобы найти значение угла \(x\), мы можем разделить обе части уравнения на 2:

\(x = 50\)

Таким образом, углы треугольника АВС равны \(50°, 50°, 80°\).

Ответ: Значения углов треугольника АВС равны 50°, 50°, 80°.