2 Вычислите следующие три члена последовательности, если a1 = 3 и an = 2⋅an−1 + 2. Ответы: А -6- Б 8 В -13 Г

Задача 1:
Для вычисления членов последовательности, заданной рекуррентным соотношением \(a_n = 2a_{n-1} + 2\), требуется знать первый член \(a_1 = 3\). Давайте вычислим первые три члена последовательности.

Шаг 1:
\(a_1 = 3\)

Шаг 2:
\(a_2 = 2a_{2-1} + 2 = 2a_1 + 2 = 2 \cdot 3 + 2 = 6 + 2 = 8\)

Шаг 3:
\(a_3 = 2a_{3-1} + 2 = 2a_2 + 2 = 2 \cdot 8 + 2 = 16 + 2 = 18\)

Таким образом, первые три члена последовательности равны 3, 8 и 18. Ответ: Б - 8, В - 18, Г - 8.

Задача 2:
Для вычисления первых трех членов последовательности \(y_n = 3n^2 - 7n\), давайте подставим значения n и вычислим.

Шаг 1:
Подставим \(n = 1\) в формулу:
\(y_1 = 3 \cdot 1^2 - 7 \cdot 1 = -4\)

Шаг 2:
Подставим \(n = 2\) в формулу:
\(y_2 = 3 \cdot 2^2 - 7 \cdot 2 = -2\)

Шаг 3:
Подставим \(n = 3\) в формулу:
\(y_3 = 3 \cdot 3^2 - 7 \cdot 3 = 6\)

Таким образом, первые три члена последовательности равны -4, -2 и 6. Ответ: А - [-4, -2, 6].

Задача 3:
Для определения, является ли последовательность \(1; -1; 1; -2; 1; -3...\) ограниченной, давайте проанализируем члены последовательности.

Мы видим, что члены последовательности чередуются между положительными и отрицательными значениями. Остановимся на отрицательных значениях и заметим, что они увеличиваются с каждым следующим членом. Это означает, что последовательность не ограничена, так как её члены могут продолжать увеличиваться в отрицательную сторону. Ответ: Б - нет.

Задача 4:
Для определения, является ли последовательность \(y_n+1 - y_n = n + (-n^2)(n+1)\) возрастающей или убывающей, давайте проанализируем разность между последовательными членами.

Шаг 1:
Вычислим разность между членами последовательности:
\(y_{n+1} - y_n = (n+1) + (-(n+1)^2)(n+2) - (n + (-n^2)(n+1))\) (здесь я упрощаю выражение, исходя из данной формулы разности)

\(= (n+1) - (n^2 + 2n + 1)(n+2) - (n - n^3 - n^2 - n)\)

Шаг 2:
Упростим это выражение и приведем подобные слагаемые:
\(= n+1 - (n^3 + 2n^2 + n + 2n^2 + 4n + 2) - (n - n^3 - n^2 - n)\)

\(= n+1 - n^3 - 4n^2 - 3n - 2 - n + n^3 + n^2 + n\)

\(= - 4n^2 - 3n - 1\)

Мы видим, что разность между последовательными членами не зависит от n и имеет отрицательное значение. Это означает, что последовательность убывающая. Ответ: убывающая последовательность.