2 Вычислите следующие три члена последовательности, если a1 = 3 и an = 2⋅an−1 + 2. Ответы: А -6- Б 8 В -13 Г

Задача 1:
Для вычисления членов последовательности, заданной рекуррентным соотношением $a_n=2a_{n-1}+2$, требуется знать первый член $a_1=3$. Давайте вычислим первые три члена последовательности.

Шаг 1:
$a_1=3$

Шаг 2:
$a_2=2a_{2-1}+2=2a_1+2=2\cdot 3+2=6+2=8$

Шаг 3:
$a_3=2a_{3-1}+2=2a_2+2=2\cdot 8+2=16+2=18$

Таким образом, первые три члена последовательности равны 3, 8 и 18. Ответ: Б - 8, В - 18, Г - 8.

Задача 2:
Для вычисления первых трех членов последовательности $y_n=3n^2-7n$, давайте подставим значения n и вычислим.

Шаг 1:
Подставим $n=1$ в формулу:
$y_1=3\cdot 1^2-7\cdot 1=-4$

Шаг 2:
Подставим $n=2$ в формулу:
$y_2=3\cdot 2^2-7\cdot 2=-2$

Шаг 3:
Подставим $n=3$ в формулу:
$y_3=3\cdot 3^2-7\cdot 3=6$

Таким образом, первые три члена последовательности равны -4, -2 и 6. Ответ: А - [-4, -2, 6].

Задача 3:
Для определения, является ли последовательность $1;-1;1;-2;1;-3...$ ограниченной, давайте проанализируем члены последовательности.

Мы видим, что члены последовательности чередуются между положительными и отрицательными значениями. Остановимся на отрицательных значениях и заметим, что они увеличиваются с каждым следующим членом. Это означает, что последовательность не ограничена, так как её члены могут продолжать увеличиваться в отрицательную сторону. Ответ: Б - нет.

Задача 4:
Для определения, является ли последовательность $y_n+1-y_n=n+(-n^2)(n+1)$ возрастающей или убывающей, давайте проанализируем разность между последовательными членами.

Шаг 1:
Вычислим разность между членами последовательности:
$y_{n+1}-y_n=(n+1)+(-(n+1{)}^2)(n+2)-(n+(-n^2)(n+1))$ (здесь я упрощаю выражение, исходя из данной формулы разности)

$=(n+1)-(n^2+2n+1)(n+2)-(n-n^3-n^2-n)$

Шаг 2:
Упростим это выражение и приведем подобные слагаемые:
$=n+1-(n^3+2n^2+n+2n^2+4n+2)-(n-n^3-n^2-n)$

$=n+1-n^3-4n^2-3n-2-n+n^3+n^2+n$

$=-4n^2-3n-1$

Мы видим, что разность между последовательными членами не зависит от n и имеет отрицательное значение. Это означает, что последовательность убывающая. Ответ: убывающая последовательность.