2. Каково уравнение сферы, если ее диаметром является отрезок, соединяющий точки A (-3; 1,5; -2) и B (3; -2,5; 2)? Имеют ли точки с координатами (√7; -1,5; 3) и (3; 2,5; 1) отношение к этой сфере?
3. Для сферы с уравнением x^2 + y^2 + z^2 = 25 и плоскости, которая параллельна оси Ox и проходит через точки (0; 8; 0) и (0; 0; 8√3/3), определите, пересекает ли эта плоскость сферу. Если да, то найдите длину линии пересечения.
4. Существуют ли общие точки между шарами, ограниченными сферами x^2 + y^2 + z^2 = 2x + 4y – 6z + 11 и x^2 + y^2 + z^2 – 8y + 6z = -21?
5. Найдите уравнение плоскости, проходящей через три точки A (1; 2; 0), В (2; 3; 0) и С(3; 4; 7).
3. Для сферы с уравнением x^2 + y^2 + z^2 = 25 и плоскости, которая параллельна оси Ox и проходит через точки (0; 8; 0) и (0; 0; 8√3/3), определите, пересекает ли эта плоскость сферу. Если да, то найдите длину линии пересечения.
4. Существуют ли общие точки между шарами, ограниченными сферами x^2 + y^2 + z^2 = 2x + 4y – 6z + 11 и x^2 + y^2 + z^2 – 8y + 6z = -21?
5. Найдите уравнение плоскости, проходящей через три точки A (1; 2; 0), В (2; 3; 0) и С(3; 4; 7).
Марина
2. Чтобы найти уравнение сферы, используем формулу для расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:
\[d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}}\]
где \(d\) - расстояние между точками, \(x_1, y_1, z_1\) - координаты точки A, а \(x_2, y_2, z_2\) - координаты точки B.
Диаметр сферы равен расстоянию между точками A и B, которое можно найти, подставив значения координат в формулу:
\[d = \sqrt{{(3 - (-3))^2 + (-2.5 - 1.5)^2 + (2 - (-2))^2}}\]
\[d = \sqrt{{(6)^2 + (-4)^2 + (4)^2}}\]
\[d = \sqrt{{36 + 16 + 16}}\]
\[d = \sqrt{{68}}\]
\[d = 2\sqrt{{17}}\]
Радиус сферы равен половине диаметра, следовательно:
\[r = \frac{{2\sqrt{{17}}}}{2}\]
\[r = \sqrt{{17}}\]
Теперь, зная радиус сферы и координаты ее центра, можем записать уравнение сферы в общем виде:
\[(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2\]
где \((a, b, c)\) - координаты центра сферы и \(r\) - радиус.
Подставляя известные значения, получим уравнение сферы:
\[(x - (-3))^2 + (y - 1.5)^2 + (z - (-2))^2 = (\sqrt{{17}})^2\]
\[(x + 3)^2 + (y - 1.5)^2 + (z + 2)^2 = 17\]
Теперь проверим, имеют ли заданные точки \((\sqrt{{7}}, -1.5, 3)\) и \((3, 2.5, 1)\) отношение к этой сфере. Для этого подставим их координаты в уравнение сферы:
Для точки \((\sqrt{{7}}, -1.5, 3)\):
\[(\sqrt{{7}} + 3)^2 + (-1.5 - 1.5)^2 + (3 + 2)^2 = 17\]
\[7 + 6 + 25 = 17\]
Уравнение не выполняется, поэтому эта точка не принадлежит сфере.
Для точки \((3, 2.5, 1)\):
\[(3 + 3)^2 + (2.5 - 1.5)^2 + (1 + 2)^2 = 17\]
\[36 + 1 + 9 = 17\]
Уравнение не выполняется, поэтому эта точка также не принадлежит сфере.
3. Для определения пересечения плоскости и сферы, необходимо подставить координаты точек, через которые проходит плоскость, в уравнение сферы и проверить его выполнение.
Уравнение сферы дано: \(x^2 + y^2 + z^2 = 25\)
Плоскость параллельна оси Ox и проходит через точки \((0, 8, 0)\) и \((0, 0, \frac{{8\sqrt{3}}}{3})\).
Заметим, что у плоскости координаты x всегда равны 0, поэтому можно записать уравнение плоскости:
\[0x + by + cz = d\]
Подставим координаты точек в это уравнение, чтобы найти значения b, c и d:
Точка \((0, 8, 0)\):
\[0 \cdot 0 + b \cdot 8 + c \cdot 0 = d\]
\[8b = d\]
Точка \((0, 0, \frac{{8\sqrt{3}}}{3})\):
\[0 \cdot 0 + b \cdot 0 + c \cdot \frac{{8\sqrt{3}}}{3} = d\]
\[\frac{{8c\sqrt{3}}}{3} = d\]
Так как у нас два уравнения с тремя переменными, можно выбрать любое удобное значение для b или c и найти соответствующие значения d.
Допустим, выберем b = 1, тогда из первого уравнения получаем d = 8.
Уравнение плоскости примет вид:
\[y + cz = 8\]
Теперь подставим уравнение плоскости в уравнение сферы и проверим его выполнение:
\[(0)^2 + (y)^2 + (cz)^2 = 25\]
\[y^2 + c^2z^2 = 25\]
Так как плоскость параллельна оси Ox, коэффициент при y равен 1, а коэффициент при x и z равен 0, поэтому упрощая уравнение, получаем:
\[y^2 = 25\]
\[y = \pm 5\]
Таким образом, пересечение плоскости и сферы представляет собой две прямые линии параллельные оси Ox и находящиеся на расстоянии 5 от нее.
4. Чтобы найти общие точки между шарами, нужно решить систему уравнений, которая состоит из уравнений сфер:
\[x^2 + y^2 + z^2 = 2x + 4y - 6z + 11\]
\[x^2 + y^2 + z^2 - 8y + 6z = -21\]
Вычтем второе уравнение из первого, чтобы убрать \(x^2 + y^2 + z^2\) и получим новое уравнение:
\[2x + 4y - 6z + 11 - (-8y + 6z) = -21\]
\[2x + 4y - 6z + 11 + 8y - 6z = -21\]
\[2x + 12y - 12z + 11 = -21\]
\[2x + 12y - 12z = -32\]
Из найденного уравнения можем сделать следующее наблюдение: все члены уравнения делятся на 2, следовательно, наше решение делим на 2:
\[x + 6y - 6z = -16\]
Теперь можем решить систему уравнений
\[\begin{cases} x + 6y - 6z = -16 \\ x^2 + y^2 + z^2 = 2x + 4y - 6z + 11 \end{cases}\]
Решить данную систему можно различными методами, например, методом подстановки или методом сложения и вычитания. Я воспользуюсь методом подстановки.
Из первого уравнения получаем выражение:
\[x = 16 - 6y + 6z\]
Подставим его во второе уравнение:
\[(16 - 6y + 6z)^2 + y^2 + z^2 = 2(16 - 6y + 6z) + 4y - 6z + 11\]
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
\[256 - 192y + 192z - 36y^2 + 72yz - 36z^2 + y^2 + z^2 = 32 - 12y + 12z + 4y - 6z + 11\]
\[220 - 200y + 186z - 35y^2 + 72yz - 35z^2 = 43 - 8y + 6z\]
Теперь приведем уравнение к виду квадратного трехчлена:
\[35y^2 + (200 - 72z)y + 35z^2 - 186z + 220 - 43 = 0\]
Теперь можем найти общие точки, решив данное квадратное уравнение относительно \(y\). Получим значения \(y\) и подставим их обратно в первое уравнение для нахождения соответствующих \(x\) и \(z\).
5. Увы, но вы не укажете уравнение плоскости, с которым я могу вам помочь. Пожалуйста, укажите дополнительные условия или коэффициенты плоскости (например, нормальный вектор или точку на плоскости), чтобы я мог выполнять требуемое задание. Без дополнительной информации невозможно найти уравнение плоскости.
\[d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}}\]
где \(d\) - расстояние между точками, \(x_1, y_1, z_1\) - координаты точки A, а \(x_2, y_2, z_2\) - координаты точки B.
Диаметр сферы равен расстоянию между точками A и B, которое можно найти, подставив значения координат в формулу:
\[d = \sqrt{{(3 - (-3))^2 + (-2.5 - 1.5)^2 + (2 - (-2))^2}}\]
\[d = \sqrt{{(6)^2 + (-4)^2 + (4)^2}}\]
\[d = \sqrt{{36 + 16 + 16}}\]
\[d = \sqrt{{68}}\]
\[d = 2\sqrt{{17}}\]
Радиус сферы равен половине диаметра, следовательно:
\[r = \frac{{2\sqrt{{17}}}}{2}\]
\[r = \sqrt{{17}}\]
Теперь, зная радиус сферы и координаты ее центра, можем записать уравнение сферы в общем виде:
\[(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2\]
где \((a, b, c)\) - координаты центра сферы и \(r\) - радиус.
Подставляя известные значения, получим уравнение сферы:
\[(x - (-3))^2 + (y - 1.5)^2 + (z - (-2))^2 = (\sqrt{{17}})^2\]
\[(x + 3)^2 + (y - 1.5)^2 + (z + 2)^2 = 17\]
Теперь проверим, имеют ли заданные точки \((\sqrt{{7}}, -1.5, 3)\) и \((3, 2.5, 1)\) отношение к этой сфере. Для этого подставим их координаты в уравнение сферы:
Для точки \((\sqrt{{7}}, -1.5, 3)\):
\[(\sqrt{{7}} + 3)^2 + (-1.5 - 1.5)^2 + (3 + 2)^2 = 17\]
\[7 + 6 + 25 = 17\]
Уравнение не выполняется, поэтому эта точка не принадлежит сфере.
Для точки \((3, 2.5, 1)\):
\[(3 + 3)^2 + (2.5 - 1.5)^2 + (1 + 2)^2 = 17\]
\[36 + 1 + 9 = 17\]
Уравнение не выполняется, поэтому эта точка также не принадлежит сфере.
3. Для определения пересечения плоскости и сферы, необходимо подставить координаты точек, через которые проходит плоскость, в уравнение сферы и проверить его выполнение.
Уравнение сферы дано: \(x^2 + y^2 + z^2 = 25\)
Плоскость параллельна оси Ox и проходит через точки \((0, 8, 0)\) и \((0, 0, \frac{{8\sqrt{3}}}{3})\).
Заметим, что у плоскости координаты x всегда равны 0, поэтому можно записать уравнение плоскости:
\[0x + by + cz = d\]
Подставим координаты точек в это уравнение, чтобы найти значения b, c и d:
Точка \((0, 8, 0)\):
\[0 \cdot 0 + b \cdot 8 + c \cdot 0 = d\]
\[8b = d\]
Точка \((0, 0, \frac{{8\sqrt{3}}}{3})\):
\[0 \cdot 0 + b \cdot 0 + c \cdot \frac{{8\sqrt{3}}}{3} = d\]
\[\frac{{8c\sqrt{3}}}{3} = d\]
Так как у нас два уравнения с тремя переменными, можно выбрать любое удобное значение для b или c и найти соответствующие значения d.
Допустим, выберем b = 1, тогда из первого уравнения получаем d = 8.
Уравнение плоскости примет вид:
\[y + cz = 8\]
Теперь подставим уравнение плоскости в уравнение сферы и проверим его выполнение:
\[(0)^2 + (y)^2 + (cz)^2 = 25\]
\[y^2 + c^2z^2 = 25\]
Так как плоскость параллельна оси Ox, коэффициент при y равен 1, а коэффициент при x и z равен 0, поэтому упрощая уравнение, получаем:
\[y^2 = 25\]
\[y = \pm 5\]
Таким образом, пересечение плоскости и сферы представляет собой две прямые линии параллельные оси Ox и находящиеся на расстоянии 5 от нее.
4. Чтобы найти общие точки между шарами, нужно решить систему уравнений, которая состоит из уравнений сфер:
\[x^2 + y^2 + z^2 = 2x + 4y - 6z + 11\]
\[x^2 + y^2 + z^2 - 8y + 6z = -21\]
Вычтем второе уравнение из первого, чтобы убрать \(x^2 + y^2 + z^2\) и получим новое уравнение:
\[2x + 4y - 6z + 11 - (-8y + 6z) = -21\]
\[2x + 4y - 6z + 11 + 8y - 6z = -21\]
\[2x + 12y - 12z + 11 = -21\]
\[2x + 12y - 12z = -32\]
Из найденного уравнения можем сделать следующее наблюдение: все члены уравнения делятся на 2, следовательно, наше решение делим на 2:
\[x + 6y - 6z = -16\]
Теперь можем решить систему уравнений
\[\begin{cases} x + 6y - 6z = -16 \\ x^2 + y^2 + z^2 = 2x + 4y - 6z + 11 \end{cases}\]
Решить данную систему можно различными методами, например, методом подстановки или методом сложения и вычитания. Я воспользуюсь методом подстановки.
Из первого уравнения получаем выражение:
\[x = 16 - 6y + 6z\]
Подставим его во второе уравнение:
\[(16 - 6y + 6z)^2 + y^2 + z^2 = 2(16 - 6y + 6z) + 4y - 6z + 11\]
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
\[256 - 192y + 192z - 36y^2 + 72yz - 36z^2 + y^2 + z^2 = 32 - 12y + 12z + 4y - 6z + 11\]
\[220 - 200y + 186z - 35y^2 + 72yz - 35z^2 = 43 - 8y + 6z\]
Теперь приведем уравнение к виду квадратного трехчлена:
\[35y^2 + (200 - 72z)y + 35z^2 - 186z + 220 - 43 = 0\]
Теперь можем найти общие точки, решив данное квадратное уравнение относительно \(y\). Получим значения \(y\) и подставим их обратно в первое уравнение для нахождения соответствующих \(x\) и \(z\).
5. Увы, но вы не укажете уравнение плоскости, с которым я могу вам помочь. Пожалуйста, укажите дополнительные условия или коэффициенты плоскости (например, нормальный вектор или точку на плоскости), чтобы я мог выполнять требуемое задание. Без дополнительной информации невозможно найти уравнение плоскости.
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
