2. Какова высота треугольной пирамиды, если ее апофема равна 2 см и наклонена под углом 30 градусов к плоскости

Для начала, давайте рассмотрим задачу номер 2. У нас есть треугольная пирамида с апофемой 2 см, которая наклонена под углом 30 градусов к плоскости основания. Чтобы найти высоту пирамиды, нам нужно использовать геометрические свойства треугольников.

При построении пирамиды, плоскость основания образует прямоугольный треугольник с апофемой как гипотенузой и высотой пирамиды как катетом. Поэтому мы можем использовать тригонометрию для решения этой задачи.

Для начала, нам нужно найти длину основания треугольника. Мы знаем апофему (гипотенузу) и угол между апофемой и основанием (30 градусов). Мы можем найти длину основания, используя тригонометрическую функцию косинуса.

\[
\cos(30^\circ) = \frac{{\text{{сторона прилегающая к углу}}}}{{\text{{гипотенуза}}}}
\]

Подставляя известные значения в эту формулу, получим:

\[
\cos(30^\circ) = \frac{{\text{{основание}}}}{{2 \text{{ см}}}}
\]

Выразим основание:

\[
\text{{основание}} = 2 \text{{ см}} \times \cos(30^\circ)
\]

\[
\text{{основание}} = 2 \text{{ см}} \times \frac{{\sqrt{3}}}{{2}}
\]

\[
\text{{основание}} = \sqrt{3} \text{{ см}}
\]

Теперь, чтобы найти высоту пирамиды, мы можем использовать теорему Пифагора, примененную к нашему треугольнику. Мы знаем длину основания и апофему, поэтому высота будет являться второй катетой в нашем треугольнике.

\[
\text{{высота}} = \sqrt{{\text{{апофема}}^2 - \text{{основание}}^2}}
\]

Подставляя известные значения:

\[
\text{{высота}} = \sqrt{{2^2 - (\sqrt{3})^2}}
\]

\[
\text{{высота}} = \sqrt{{4 - 3}}
\]

\[
\text{{высота}} = \sqrt{1}
\]

\[
\text{{высота}} = 1 \text{{ см}}
\]

Таким образом, высота треугольной пирамиды равна 1 см.

Теперь перейдем к задаче номер 3. У нас есть прямоугольный параллелепипед с размерами основания 6 см и 8 см, и его диагональ наклонена под углом 45 градусов к плоскости основания. Мы хотим найти боковую поверхность этого параллелепипеда.

Для начала, давайте найдем длину диагонали основания параллелепипеда. Используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, мы можем найти длину диагонали.

\[
\text{{диагональ}} = \sqrt{{\text{{сторона 1}}^2 + \text{{сторона 2}}^2}}
\]

\[
\text{{диагональ}} = \sqrt{{6^2 + 8^2}}
\]

\[
\text{{диагональ}} = \sqrt{{36 + 64}}
\]

\[
\text{{диагональ}} = \sqrt{{100}}
\]

\[
\text{{диагональ}} = 10 \text{{ см}}
\]

Теперь давайте найдем боковую поверхность параллелепипеда. Боковая поверхность состоит из двух прямоугольников, длины которых равны сторонам параллелепипеда, а ширина - это длина диагонали.

\[
\text{{боковая поверхность}} = 2 \cdot (\text{{сторона 1}} \cdot \text{{диагональ}}) + 2 \cdot (\text{{сторона 2}} \cdot \text{{диагональ}})
\]

\[
\text{{боковая поверхность}} = 2 \cdot (6 \text{{ см}} \cdot 10 \text{{ см}}) + 2 \cdot (8 \text{{ см}} \cdot 10 \text{{ см}})
\]

\[
\text{{боковая поверхность}} = 2 \cdot (60 \text{{ см}}) + 2 \cdot (80 \text{{ см}})
\]

\[
\text{{боковая поверхность}} = 120 \text{{ см}} + 160 \text{{ см}}
\]

\[
\text{{боковая поверхность}} = 280 \text{{ см}}
\]

Таким образом, боковая поверхность прямоугольного параллелепипеда с размерами основания 6 см и 8 см, при условии, что его диагональ наклонена под углом 45 градусов к плоскости основания, равна 280 см².

Перейдем теперь к задаче номер 4. У нас есть четырехугольная пирамида с радиусом окружности, описанной около основания, равным определенному значению, и апофемой. Нам нужно найти полную поверхность этой пирамиды.

Полная поверхность пирамиды состоит из боковой поверхности и основания. Боковая поверхность можно найти, используя площадь боковой поверхности пирамиды через радиус основания и апофему:

\[
\text{{боковая поверхность}} = \frac{{\text{{периметр основания}} \cdot \text{{апофема}}}}{2}
\]

Здесь периметр основания зависит от формы основания пирамиды. Для четырехугольной пирамиды с радиусом окружности, описанной около основания, равным r, периметр основания будет:

\[
\text{{периметр основания}} = 4 \cdot r
\]

Тогда боковая поверхность будет:

\[
\text{{боковая поверхность}} = \frac{{4 \cdot r \cdot \text{{апофема}}}}{2}
\]

Теперь для нахождения полной поверхности пирамиды нам нужно добавить площадь основания. Площадь основания зависит от формы основания пирамиды, и я не могу дать общую формулу без знания конкретной формы основания.

Но теперь вы знаете, как найти боковую поверхность пирамиды и можем использовать эту информацию вместе с известным радиусом, чтобы решить задачу.

Пожалуйста, предоставьте дополнительную информацию по поводу формы основания четырехугольной пирамиды, и я помогу вам найти полную поверхность.