2) Каков объем треугольной пирамиды, определенной вершинами a(0,0,1), b(2,3,5), c(6,2,3) и d(3,7,2)?

Чтобы найти объем треугольной пирамиды, определенной вершинами a(0,0,1), b(2,3,5), c(6,2,3) и d(3,7,2), мы можем воспользоваться формулой для объема пирамиды, которая равна одной трети произведения площади основания и высоты.

Шаг 1: Найдем площадь основания пирамиды, которая является треугольником. Для этого можно воспользоваться формулой Герона или формулой площади треугольника через две стороны и синус угла между ними.

Длина сторон треугольника можно найти с помощью формулы расстояния между двумя точками:
AB = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2]
BC = √[(x3 - x2)^2 + (y3 - y2)^2 + (z3 - z2)^2]
CA = √[(x1 - x3)^2 + (y1 - y3)^2 + (z1 - z3)^2]

Запишем координаты вершин:
a(0,0,1), b(2,3,5), c(6,2,3)

AB = √[(2 - 0)^2 + (3 - 0)^2 + (5 - 1)^2]
BC = √[(6 - 2)^2 + (2 - 3)^2 + (3 - 5)^2]
CA = √[(0 - 6)^2 + (0 - 2)^2 + (1 - 3)^2]

AB = √[4 + 9 + 16] = √29
BC = √[16 + 1 + 4] = √21
CA = √[36 + 4 + 4] = √44

Теперь, зная длины сторон треугольника, можем найти его площадь, используя формулу Герона:
S = √[p(p - AB)(p - BC)(p - CA)]
где p - полупериметр треугольника, равный полусумме длин его сторон:
p = (AB + BC + CA) / 2

p = ( √29 + √21 + √44 ) / 2
S = √[ ( (√29 + √21 + √44 ) / 2 ) * ( (√29 + √21 + √44 ) / 2 - √29 ) * ( (√29 + √21 + √44 ) / 2 - √21 ) * ( (√29 + √21 + √44 ) / 2 - √44 ) ]

Вычисляя эту формулу, получаем площадь основания пирамиды S.

Шаг 2: Найдем высоту пирамиды. Для этого мы можем использовать формулу для расстояния между точкой и плоскостью.

Формула высоты пирамиды:
h = | (Ax + By + Cz + D) / sqrt(A^2 + B^2 + C^2) |
где (A, B, C) - коэффициенты уравнения плоскости, которая определяет основание пирамиды, а (x, y, z) - координаты вершины пирамиды.

Уравнение плоскости можно найти, используя формулу плоскости через три точки:
Ax + By + Cz + D = 0

Зная координаты вершины d(3,7,2), мы можем использовать точку d для нахождения уравнения плоскости, определенной точками a, b и c.

D = -Ax - By - Cz
D = -(A * 3) - (B * 7) - (C * 2)

Теперь, используя коэффициенты A, B и C, и координаты вершины d, мы можем найти высоту пирамиды h.

h = | (A * 3 + B * 7 + C * 2 + D) / sqrt(A^2 + B^2 + C^2) |

Шаг 3: Наконец, по формуле для объема пирамиды, который равен одной трети произведения площади основания и высоты, мы можем найти объем пирамиды.

V = (1/3) * S * h

Таким образом, вы можете найти объем треугольной пирамиды, используя приведенные формулы и вычисления.