2. Дано ABCDA1,B1C,D1 - прямоугольный параллелепипед, где точка Е принадлежит отрезку ВС. Проведите через точку

Для решения данной задачи, давайте разобьем ее на две части:

а) Являются ли отрезки AB и EF перпендикулярными?

Чтобы определить, являются ли отрезки AB и EF перпендикулярными, необходимо убедиться, что их направляющие векторы взаимно перпендикулярны.

Направляющий вектор отрезка AB можно получить, вычитая из координат точки B координаты точки A. Пусть координаты точки A - (x₁, y₁, z₁), а координаты точки B - (x₂, y₂, z₂). Тогда направляющий вектор отрезка AB будет равен:

\(\overrightarrow{AB} = (x₂ - x₁, y₂ - y₁, z₂ - z₁)\)

А так как прямая EF перпендикулярна отрезку AD, то направляющий вектор отрезка EF будет совпадать с направляющим вектором отрезка AD, который можно получить вычитая из координат точки A координаты точки D. Пусть координаты точки D - (x₃, y₃, z₃). Тогда направляющий вектор отрезка EF будет равен:

\(\overrightarrow{EF} = (x₃ - x₁, y₃ - y₁, z₃ - z₁)\)

Теперь, чтобы проверить, являются ли векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{EF}\) взаимно перпендикулярными, необходимо убедиться, что их скалярное произведение равно нулю:

\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{EF} = (x₂ - x₁)(x₃ - x₁) + (y₂ - y₁)(y₃ - y₁) + (z₂ - z₁)(z₃ - z₁)\)

Если полученное скалярное произведение равно нулю, то отрезки AB и EF являются перпендикулярными.

б) Являются ли отрезки AB и EF параллельными?

Для определения, являются ли отрезки AB и EF параллельными, мы можем рассмотреть их направляющие векторы.

Если направляющие векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{EF}\) пропорциональны, то отрезки AB и EF являются параллельными.

Для проверки пропорциональности векторов, можно вычислить соответствующие отношения и сравнить их. Если все три отношения равны, то векторы пропорциональны.

\(\frac{(x₂ - x₁)}{(x₃ - x₁)} = \frac{(y₂ - y₁)}{(y₃ - y₁)} = \frac{(z₂ - z₁)}{(z₃ - z₁)}\)

Если все три отношения равны, то отрезки AB и EF являются параллельными.

Окончательно, проведя перпендикулярную прямую EF через точку Е и ставя отношения \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{EF} = 0\) и \(\frac{(x₂ - x₁)}{(x₃ - x₁)} = \frac{(y₂ - y₁)}{(y₃ - y₁)} = \frac{(z₂ - z₁)}{(z₃ - z₁)}\), можно определить взаимное расположение отрезков АВ и EF.