1a) Если KLMN является прямоугольником и О является точкой пересечения диагоналей, то угол KOL равен 90 градусам

1a) Для доказательства, что угол KOL равен 90 градусам в случае, когда KLMN является прямоугольником и О является точкой пересечения диагоналей, рассмотрим следующее:

У прямоугольника KLMN диагонали KО и LО будут пересекаться в точке О. Также, по свойствам прямоугольника, стороны KL и MN будут перпендикулярны друг другу.

Известно, что в прямоугольнике все углы равны 90 градусам. Таким образом, угол KOL также будет равен 90 градусам.

Ответ: Угол KOL равен 90 градусам.

1b) Для доказательства утверждения, что угол KLM равен углу LMN в случае, когда KLMN является прямоугольником, рассмотрим следующее:

У прямоугольника KLMN стороны KL и MN будут перпендикулярны друг другу. В данном случае, угол KLM и угол LMN будут смежными углами.

Согласно определению, смежные углы являются парой углов, сумма которых равна 180 градусам.

Таким образом, угол KLM будет равен углу LMN.

Ответ: Угол KLM равен углу LMN.

1c) Для доказательства утверждения, что KM равно LN в случае, когда KLMN является ромбом, рассмотрим следующее:

У ромба KLMN все стороны равны между собой. Поэтому, KM будет равно LN.

Ответ: KM равно LN.

1d) Для доказательства утверждения, что угол LKM равен углу NKM в случае, когда KLMN является ромбом, рассмотрим следующее:

У ромба KLMN все углы равны между собой. Таким образом, угол LKM равен углу NKM.

Ответ: Угол LKM равен углу NKM.

2) Для нахождения периметра трапеции MPDE с известными значениями CD = DE = 10 и CE = 6, где PM является средней линией треугольника CDE, рассмотрим следующее:

Средняя линия треугольника CDE, проходящая через точку P, делит основание CE пополам. Значит, MP будет равно половине значения CE, то есть MP = CE / 2.

Учитывая, что CD = DE = 10, периметр трапеции MPDE можно выразить следующим образом:

Периметр = MP + CD + DE + CE
Периметр = (CE / 2) + CD + DE + CE
Периметр = (6 / 2) + 10 + 10 + 6
Периметр = 3 + 10 + 10 + 6
Периметр = 29

Ответ: Периметр трапеции MPDE равен 29.

3) Для вычисления длины большой диагонали параллелограмма с известными значениями сторон 4 и 2√3 и острым углом, равным 30 градусов, рассмотрим следующее:

В параллелограмме, острый угол при вершине будет равен 30 градусам. Это означает, что противолежащая сторона параллелограмма имеет такую же длину, как и соседняя сторона, а также будет образовывать угол 30 градусов между собой.

Таким образом, большая диагональ будет состоять из двух соседних сторон параллелограмма и будет образовывать угол 30 градусов с каждой из них.

Используя тригонометрические соотношения, можно вычислить длину большой диагонали.

\[\text{Длина} \ \text{большой} \ \text{диагонали} = 2 \cdot \text{сторона} \cdot \sin(30^\circ)\]
\[\text{Длина} \ \text{большой} \ \text{диагонали} = 2 \cdot 4 \cdot \sin(30^\circ)\]
\[\text{Длина} \ \text{большой} \ \text{диагонали} = 8 \cdot \sin(30^\circ)\]
\[\text{Длина} \ \text{большой} \ \text{диагонали} = 8 \cdot \frac{1}{2}\]
\[\text{Длина} \ \text{большой} \ \text{диагонали} = 4\]

Ответ: Длина большой диагонали параллелограмма равна 4.

4) Чтобы доказать, что треугольники PMK и PKN, составленные из сторон PM, MK и PK, равны в случае, когда KLMN является прямоугольником, рассмотрим следующее:

У прямоугольника KLMN известно, что его диагонали KО и LО пересекаются в точке О.

Если провести линии PK и MK, то эти линии разделят прямоугольник KLMN на два треугольника: PMK и PKN.

По свойству пересекающихся диагоналей, которое гласит, что если две диагонали в прямоугольнике пересекаются в точке, то они делят этот прямоугольник на четыре равных треугольника, треугольники PMK и PKN будут равными.

Ответ: Треугольники PMK и PKN, составленные из сторон PM, MK и PK, равны при условии, что KLMN является прямоугольником.