Яким буде радіус описаного кола рівнобедреного трикутника, в якому бічна сторона і основа пропорційні числам 5

Щоб знайти радіус описаного кола рівнобедреного трикутника, спочатку знайдемо його основу та бічну сторону. Відповідно до умови, бічна сторона і основа пропорційні числам 5 та 8. Давайте позначимо основу як $a$, а бічну сторону як $b$.

За умовою, периметр трикутника дорівнює $24$. Рівнобедрений трикутник має дві однакові бічні сторони, тому можемо записати таке рівняння периметру трикутника:

$$24=2b+a$$

Також відомо, що бічна сторона і основа пропорційні числам 5 та 8, відповідно. Тобто, ми можемо записати ще одне співвідношення:

$\frac{a}{b}=\frac{8}{5}$

Тепер ми можемо використовувати ці два рівняння, щоб знайти значення $a$ і $b$.

Давайте спочатку вирішимо перше рівняння:

$$24=2b+a$$

Щоб знайти $a$, виразимо його через $b$:

$$a=24-2b$$

Тепер підставимо це значення $a$ у друге рівняння:

$\frac{24-2b}{b}=\frac{8}{5}$

Знайдемо спільний знаменник:

$\frac{5(24-2b)}{5b}=\frac{8}{5}$

Збережемо однаковий знаменник:

$\frac{120-10b}{5b}=\frac{8}{5}$

Тепер перетворимо рівняння, щоб позбутись відбитків:

$5(120-10b)=8(5b)$

Розкриємо дужки:

$600-50b=40b$

Поміщаємо змінні на одну сторону, числа на іншу:

$600=90b$

Розділимо обидві частини на 90 для знаходження значення $b$:

$b=\frac{600}{90}=\frac{20}{3}$

Тепер, коли ми знайшли значення $b$, можемо підставити його у перше рівняння для знаходження $a$:

$a=24-2b=24-2\cdot \frac{20}{3}$

Спростимо це вираження:

$a=24-\frac{40}{3}=\frac{72}{3}-\frac{40}{3}=\frac{32}{3}$

Тож, основа трикутника $a$ дорівнює $\frac{32}{3}$, а бічна сторона $b$ дорівнює $\frac{20}{3}$.

Залишилося знайти радіус описаного кола рівнобедреного трикутника. Радіус описаного кола можна знайти за формулою:

$$R=\frac{abc}{4S}$$

де $a$, $b$, $c$ - сторони трикутника, а $S$ - його площа.

У нашому випадку, $a=\frac{32}{3}$, $b=\frac{20}{3}$ (а $c$ також дорівнює $b$, оскільки це рівнобедрений трикутник).

Площу трикутника $S$ можна знайти за формулою Герона:

$$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

де $p$ - півпериметр трикутника (у нашому випадку $p=\frac{1}{2}\cdot 24=12$).

Підставимо всі відомі значення:

$$S=\sqrt{12(12-\frac{32}{3})(12-\frac{20}{3})(12-\frac{20}{3})}$$

Спростимо це вираження:

$$S=\sqrt{12\cdot \frac{16}{3}\cdot \frac{16}{3}\cdot \frac{16}{3}}=\sqrt{\frac{2^4\cdot 2^8}{3^3}}=\sqrt{\frac{2^{12}}{3^3}}=\frac{2^6}{3}$$

Тепер ми можемо знайти радіус описаного кола:

$$R=\frac{abc}{4S}=\frac{\frac{32}{3}\cdot \frac{20}{3}\cdot \frac{20}{3}}{4\cdot \frac{2^6}{3}}=\frac{32\cdot 20\cdot 20}{3\cdot 3\cdot 4\cdot 2^6}=\frac{1600}{3\cdot 3\cdot 4\cdot 2^6}$$

Спростимо це вираження:

$$R=\frac{1600}{3\cdot 3\cdot 4\cdot 2^6}=\frac{50}{3\cdot 2^4}=\frac{50}{48}=\frac{25}{24}$$

Тож, радіус описаного кола рівнобедреного трикутника становить $\frac{25}{24}$.