Яким буде радіус описаного кола рівнобедреного трикутника, в якому бічна сторона і основа пропорційні числам 5

Щоб знайти радіус описаного кола рівнобедреного трикутника, спочатку знайдемо його основу та бічну сторону. Відповідно до умови, бічна сторона і основа пропорційні числам 5 та 8. Давайте позначимо основу як \(a\), а бічну сторону як \(b\).

За умовою, периметр трикутника дорівнює \(24\). Рівнобедрений трикутник має дві однакові бічні сторони, тому можемо записати таке рівняння периметру трикутника:

\[24 = 2b + a\]

Також відомо, що бічна сторона і основа пропорційні числам 5 та 8, відповідно. Тобто, ми можемо записати ще одне співвідношення:

\(\frac{a}{b} = \frac{8}{5}\)

Тепер ми можемо використовувати ці два рівняння, щоб знайти значення \(a\) і \(b\).

Давайте спочатку вирішимо перше рівняння:

\[24 = 2b + a\]

Щоб знайти \(a\), виразимо його через \(b\):

\[a = 24 - 2b\]

Тепер підставимо це значення \(a\) у друге рівняння:

\(\frac{24 - 2b}{b} = \frac{8}{5}\)

Знайдемо спільний знаменник:

\(\frac{5(24 - 2b)}{5b} = \frac{8}{5}\)

Збережемо однаковий знаменник:

\(\frac{120 - 10b}{5b} = \frac{8}{5}\)

Тепер перетворимо рівняння, щоб позбутись відбитків:

\(5(120 - 10b) = 8(5b)\)

Розкриємо дужки:

\(600 - 50b = 40b\)

Поміщаємо змінні на одну сторону, числа на іншу:

\(600 = 90b\)

Розділимо обидві частини на 90 для знаходження значення \(b\):

\(b = \frac{600}{90} = \frac{20}{3}\)

Тепер, коли ми знайшли значення \(b\), можемо підставити його у перше рівняння для знаходження \(a\):

\(a = 24 - 2b = 24 - 2 \cdot \frac{20}{3}\)

Спростимо це вираження:

\(a = 24 - \frac{40}{3} = \frac{72}{3} - \frac{40}{3} = \frac{32}{3}\)

Тож, основа трикутника \(a\) дорівнює \(\frac{32}{3}\), а бічна сторона \(b\) дорівнює \(\frac{20}{3}\).

Залишилося знайти радіус описаного кола рівнобедреного трикутника. Радіус описаного кола можна знайти за формулою:

\[R = \frac{abc}{4S}\]

де \(a\), \(b\), \(c\) - сторони трикутника, а \(S\) - його площа.

У нашому випадку, \(a = \frac{32}{3}\), \(b = \frac{20}{3}\) (а \(c\) також дорівнює \(b\), оскільки це рівнобедрений трикутник).

Площу трикутника \(S\) можна знайти за формулою Герона:

\[S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}\]

де \(p\) - півпериметр трикутника (у нашому випадку \(p = \frac{1}{2} \cdot 24 = 12\)).

Підставимо всі відомі значення:

\[S = \sqrt{12 \left(12 - \frac{32}{3}\right) \left(12 - \frac{20}{3}\right) \left(12 - \frac{20}{3}\right)}\]

Спростимо це вираження:

\[S = \sqrt{12 \cdot \frac{16}{3} \cdot \frac{16}{3} \cdot \frac{16}{3}} = \sqrt{\frac{2^4 \cdot 2^8}{3^3}} = \sqrt{\frac{2^{12}}{3^3}} = \frac{2^6}{3}\]

Тепер ми можемо знайти радіус описаного кола:

\[R = \frac{abc}{4S} = \frac{\frac{32}{3} \cdot \frac{20}{3} \cdot \frac{20}{3}}{4 \cdot \frac{2^6}{3}} = \frac{32 \cdot 20 \cdot 20}{3 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 2^6} = \frac{1600}{3 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 2^6}\]

Спростимо це вираження:

\[R = \frac{1600}{3 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 2^6} = \frac{50}{3 \cdot 2^4} = \frac{50}{48} = \frac{25}{24}\]

Тож, радіус описаного кола рівнобедреного трикутника становить \(\frac{25}{24}\).