19 | Весь класс состоит из учащихся, которые занимаются в спортивной секции, кружке по любимому предмету

а) Давайте разберемся сначала, сколько всего учащихся в классе. Пусть общее число учащихся будет равно \(x\).

Из условия задачи мы знаем, что девочки, занимающиеся в спортивной секции, составляют не более \(\frac{3}{11}\) от всего числа учащихся, занимающихся в спортивной секции. Следовательно, девочек в спортивной секции будет не больше \(\frac{3}{11} \cdot x\).

Также, количество девочек, посещающих кружки, не превышает \(\frac{8}{19}\) от общего числа учащихся, занимающихся в кружках. Следовательно, девочек в кружках будет не больше \(\frac{8}{19} \cdot x\).

У нас есть два условия, и чтобы найти максимальное количество девочек, мы выбираем минимальное значение из двух полученных выражений.

Пусть \(d\) - количество девочек в классе, занимающихся и в спортивной секции, и в кружках. Тогда, условие а) можно представить в виде неравенства:

\[d \leq \min{\left(\frac{3}{11} \cdot x, \frac{8}{19} \cdot x\right)}\]

Подставляя значения из задачи (10 девочек и 12 мальчиков), мы получаем:

\[d \leq \min{\left(\frac{3}{11} \cdot (10+12), \frac{8}{19} \cdot (10+12)\right)}\]

\[d \leq \min{\left(\frac{66}{11}, \frac{160}{19}\right)}\]

\[d \leq \min{\left(6, \frac{160}{19}\right)}\]

Так как нас интересует максимальное количество девочек, выбираем минимальное значение, то есть \(d \leq 6\).

Поэтому, если в классе 10 девочек и 12 мальчиков, то максимальное количество девочек, занимающихся и в спортивной секции, и в кружках, составляет не больше 6.

б) Точно так же, как мы поступали в предыдущем пункте, подставим в задачу 11 девочек и 11 мальчиков:

\[d \leq \min{\left(\frac{3}{11} \cdot (11+11), \frac{8}{19} \cdot (11+11)\right)}\]

\[d \leq \min{\left(\frac{66}{11}, \frac{176}{19}\right)}\]

\[d \leq \min{\left(6, \frac{176}{19}\right)}\]

Так как нас интересует максимальное количество девочек, выбираем минимальное значение, то есть \(d \leq 6\).

Поэтому, если в классе 11 девочек и 11 мальчиков, то максимальное количество девочек, занимающихся и в спортивной секции, и в кружках, составляет не больше 6.

в) Теперь давайте рассмотрим третий вопрос. Нам нужно найти наименьшую долю, которую могут составлять мальчики от общего числа учеников.

Общее число учеников равно сумме количества девочек и количества мальчиков. Пусть \(m\) - количество мальчиков. Тогда наименьшую долю мальчиков можно представить в виде:

\[\frac{m}{x} \geq \frac{m}{m+d}\]

где \(d\) - количество девочек в классе, занимающихся и в спортивной секции, и в кружках.

Минимальная доля мальчиков будет при максимальной доле девочек, т.е. при \(d = 6\). Подставляя это значение, получим:

\[\frac{m}{x} \geq \frac{m}{m+6}\]

Для нахождения наименьшего значения доли мальчиков, выбираем максимальное значение знаменателя, то есть \(m+6\). Получаем:

\[\frac{m}{x} \geq \frac{m}{m+6} \geq \frac{m}{m+6} \cdot \frac{1}{m+6} = \frac{1}{m+6}\]

Таким образом, наименьшая доля мальчиков будет равна \(\frac{1}{m+6}\).

Подведем итоги:

а) Максимальное количество девочек, занимающихся и в спортивной секции, и в кружках, составляет не больше 6, если в классе 10 девочек и 12 мальчиков.

б) Максимальное количество девочек, занимающихся и в спортивной секции, и в кружках, составляет не больше 6, если в классе 11 девочек и 11 мальчиков.

в) Наименьшая доля мальчиков будет равна \(\frac{1}{m+6}\), где \(m\) - количество мальчиков.