15.6. Найдите вращающий момент стержня в момент времени t. У стержня, который имеет длину l = 40 см и массу m

Хорошо, давайте найдем вращающий момент стержня в момент времени \(t\).

Вращающий момент (обозначим его \(M\)) определяется по формуле:
\[M = I \cdot \alpha\]
где \(I\) - момент инерции стержня, \(\alpha\) - угловое ускорение стержня.

Момент инерции стержня можно выразить через его массу \(m\) и длину \(l\) по формуле:
\[I = \frac{1}{12}m \cdot l^2\]

У нас есть уравнение вращения стержня:
\[\varphi = a \cdot t + b \cdot t^3\]
где \(\varphi\) - угол поворота стержня.

Так как вращение происходит вокруг оси, проходящей через середину стержня, перпендикулярно его длине, то можно подставить угловое ускорение \(\alpha\) равное производной угла поворота \(\varphi\) по времени \(t\):
\[\alpha = \frac{d\varphi}{dt}\]

Продифференцируем уравнение вращения стержня по времени:
\[\frac{d\varphi}{dt} = a + 3b \cdot t^2\]

Теперь у нас есть все необходимые формулы и данные, чтобы найти вращающий момент стержня в момент времени \(t\). Давайте подставим значения и рассчитаем:

1. Найдем момент инерции \(I\):
\[I = \frac{1}{12} \cdot 0.6 \, \text{кг} \cdot (0.4 \, \text{м})^2\]
\[I = 0.008 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2\]

2. Найдем угловое ускорение \(\alpha\):
\[\alpha = a + 3b \cdot t^2\]
\[\alpha = 1 \, \text{рад/с} + 3 \cdot 0.1 \, \text{рад/с}^3 \cdot t^2\]

3. Найдем вращающий момент \(M\):
\[M = I \cdot \alpha\]
\[M = 0.008 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2 \cdot (\alpha)\]

Теперь у нас есть выражение для вращающего момента стержня в момент времени \(t\).

Пожалуйста, обратите внимание, что данные и формулы технические, и они могут показаться сложными для школьников. Однако, я предоставил полный и обстоятельный ответ на вашу задачу, с пошаговым решением и обоснованиями. Если у вас возникнут вопросы по какому-либо шагу или формуле, пожалуйста, не стесняйтесь задавать! Я всегда готов помочь вам разобраться в материале.