15.3. What is the value of (bn) in a geometric progression: 1) Given that b3= 18 and q = 1/3; 2) Given that b6

Хорошо, давайте посмотрим на каждую из задач и найдем значение \(b_n\) для каждого случая.

1) Первый случай: \(b_3 = 18\) и \(q = \frac{1}{3}\).
Мы знаем, что \(b_n = b_1 \cdot q^{(n-1)}\) в геометрической прогрессии. Для нас даны значения \(b_3\) и \(q\), и нам нужно найти \(b_n\).
Мы можем записать уравнение: \(b_3 = b_1 \cdot q^{(3-1)}\), где \(b_1\) - это первый член геометрической прогрессии. Таким образом, нам нужно найти \(b_1\) и \(b_n\).

Давайте найдем \(b_1\):
\(b_3 = b_1 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2\)
\(18 = b_1 \cdot \frac{1}{9}\)
Умножим обе стороны на 9, чтобы избавиться от дроби:
\(162 = b_1\)

Теперь у нас есть \(b_1 = 162\) и \(q = \frac{1}{3}\). Мы можем найти \(b_n\) с помощью уравнения \(b_n = b_1 \cdot q^{(n-1)}\):
\(b_n = 162 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{(n-1)}\)

2) Второй случай: \(b_6 = 64\) и \(q = \frac{1}{4}\).
Мы можем использовать тот же метод, что и в первом случае, чтобы найти \(b_1\) и использовать его для нахождения \(b_n\).
Запишем уравнение для \(b_6\):
\(b_6 = b_1 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^5\)
\(64 = b_1 \cdot \frac{1}{1024}\)
Умножим обе стороны на 1024:
\(65536 = b_1\)

Теперь у нас есть \(b_1 = 65536\) и \(q = \frac{1}{4}\). Мы можем найти \(b_n\) с помощью уравнения \(b_n = b_1 \cdot q^{(n-1)}\):
\(b_n = 65536 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^{(n-1)}\)

3) Третий случай: \(b_8 = 16\) и \(q = -\frac{1}{2}\).
Мы можем применить тот же подход, что и в предыдущих случаях, чтобы найти \(b_1\).
Запишем уравнение для \(b_8\):
\(b_8 = b_1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^7\)
\(16 = b_1 \cdot \frac{1}{128}\)
Умножим обе стороны на 128:
\(2048 = b_1\)

Теперь у нас есть \(b_1 = 2048\) и \(q = -\frac{1}{2}\). Мы можем найти \(b_n\) с помощью уравнения \(b_n = b_1 \cdot q^{(n-1)}\):
\(b_n = 2048 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{(n-1)}\)

4) Четвертый случай: \(b_7 = -375\) и \(q = \frac{1}{5}\).
Аналогично, мы определяем \(b_1\) с помощью уравнения для \(b_7\):
\(b_7 = b_1 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^6\)
\(-375 = b_1 \cdot \frac{1}{15625}\)
Умножим обе стороны на 15625:
\(-5859375 = b_1\)

Теперь у нас есть \(b_1 = -5859375\) и \(q = \frac{1}{5}\). Мы можем найти \(b_n\) с помощью уравнения \(b_n = b_1 \cdot q^{(n-1)}\):
\(b_n = -5859375 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{(n-1)}\)

Таким образом, для каждой задачи мы нашли значение \(b_n\) в геометрической прогрессии, используя исходные значения \(b_i\) и \(q\). Каждое из решений может быть использовано для нахождения \(b_n\) для любого конкретного значения \(n\) в соответствующей геометрической прогрессии.