12) Каково будет соотношение остатков второго элемента по сравнению с первым через t=40 суток, если изначально

Для решения данной задачи, нам потребуется знание о полураспаде и его связи с количеством оставшихся атомов элемента в зависимости от времени.

Полураспад — это процесс распада радиоактивного вещества, при котором половина его атомов превращается в другие элементы. В данном случае у нас есть два элемента, первый и второй, соответствующие им периоды полураспада равны \( t_1 = 5 \) суток и \( t_2 = 8 \) суток соответственно.

Изначально количество атомов первого элемента было вдвое больше, чем количество атомов второго элемента. Пусть изначальное количество атомов первого элемента равно \( N_1 \), тогда количество атомов второго элемента равно \( N_2 = \frac{N_1}{2} \).

Теперь рассмотрим ситуацию через \( t = 40 \) суток. За это время произойдет несколько полураспадов для каждого элемента.

Для первого элемента количество оставшихся атомов можно выразить через формулу:

\[ N_1(t) = N_1(0) \times \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{t_1}} \]

где \( N_1(0) \) — изначальное количество атомов первого элемента, \( t_1 \) — период полураспада первого элемента, а \( t \) — время.

Подставим изначальные значения в формулу:

\[ N_1(40) = N_1(0) \times \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{40}{5}} \]

Аналогично для второго элемента:

\[ N_2(t) = N_2(0) \times \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{t_2}} \]

Подставим изначальные значения в формулу:

\[ N_2(40) = N_2(0) \times \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{40}{8}} \]

Зная, что \( N_2(0) = \frac{N_1(0)}{2} \), подставим данное значение:

\[ N_2(40) = \left(\frac{N_1(0)}{2}\right) \times \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{40}{8}} \]

Таким образом, соотношение остатков второго элемента по сравнению с первым через \( t = 40 \) суток будет равно:

\[ \frac{N_2(40)}{N_1(40)} = \frac{\left(\frac{N_1(0)}{2}\right) \times \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{40}{8}}}{N_1(0) \times \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{40}{5}}} \]

Сократим общий множитель \( N_1(0) \) и упростим выражение:

\[ \frac{N_2(40)}{N_1(40)} = \frac{1}{2^{\frac{40}{8} - \frac{40}{5}}} \]

Таким образом, получаем окончательный ответ:

\[ \frac{N_2(40)}{N_1(40)} = \frac{1}{2^{5 - 8}} = \frac{1}{2^{-3}} = 2^3 = 8 \]

Итак, соотношение остатков второго элемента по сравнению с первым через \( t = 40 \) суток составляет 8 к 1.