12. Циркл с центром O вписан в четырехугольник ABCD. Пусть точки M, N, K и P - точки касания окружности с сторонами

Для решения данной задачи проведем несколько шагов.

Шаг 1: Построение

Из иллюстрации видно, что точки касания окружности с сторонами четырехугольника образуют прямоугольник MNPK, так как вписанный в четырехугольник циркл имеет свойство касаться каждого из его сторон.

Шаг 2: Обозначение сторон

Обозначим стороны четырехугольника ABCD следующим образом:
AB - сторона, к которой касается точка M,
BC - сторона, к которой касается точка N,
CD - сторона, к которой касается точка K,
DA - сторона, к которой касается точка P.

Шаг 3: Поиск радиуса окружности

Используем свойство вписанного угла:

Из прямоугольности MNPK следует, что углы PMN и PKN прямые. Также, так как PM и PN - радиусы окружности, они равны между собой. Поэтому, треугольники BMP и CNP подобны.

Таким образом, имеем пропорцию \(\frac{{BM}}{{CN}} = \frac{{MP}}{{NP}}\)

Обозначим радиус окружности как r. Тогда BM = CN = r, а MP = NP = r - BC.

Используя пропорцию, получаем \(\frac{{r}}{{5}} = \frac{{r - 5}}{{r}}\)

Решаем данное уравнение:
\(r \cdot r - 5 \cdot r = 5 \cdot r - 5 \cdot 5\)
\(r^2 - 5 \cdot r = 5 \cdot r - 25\)
\(r^2 - 10 \cdot r + 25 = 0\)
\((r - 5)(r - 5) = 0\)

Отсюда получаем, что r = 5.

Шаг 4: Нахождение сторон AB и CD

Используем свойство касательной:

AB = BM + AM = BM + OM, так как точка O - центр окружности. Заменяем BM на r и получаем AB = 5 + r.

CD = CN + DN = CN + ON, так как точка O - центр окружности. Заменяем CN на r и получаем CD = 5 + r.

Шаг 5: Нахождение суммы AB и CD

AB + CD = (5 + r) + (5 + r) = 10 + 2r

Подставляем значение r = 5

AB + CD = 10 + 2 \cdot 5 = 20

Ответ: Сумма AB + CD равна 20.