11 | Найдите количество теплоты (в Дж), выделившееся при неупругом столкновении двух шаров, где один шар массой

Чтобы найти количество теплоты, которое выделилось при неупругом столкновении двух шаров, нам понадобятся данные о движении и массе шаров.

Пусть первый шар имеет массу \(m_1 = 3\) кг и скорость \(v_1 = 2\) м/с, а второй шар имеет массу, в два раза большую, то есть \(m_2 = 2m_1\) и покоится до столкновения.

Неупругое столкновение означает, что шары после столкновения превращаются в одно тело с общей скоростью, а также выделяется теплота.

Для решения задачи используем законы сохранения импульса и энергии.

1. Согласно закону сохранения импульса, сумма импульсов системы до и после столкновения должна оставаться неизменной. Можем записать это равенство:

\[m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = (m_1 + m_2) \cdot v"\]

где \(v_2\) - скорость второго шара до столкновения, \(v"\) - общая скорость шаров после столкновения.

2. Далее, согласно закону сохранения энергии, сумма кинетических энергий системы до и после столкновения, а также выделившейся теплоты, должна оставаться неизменной. Можем записать это равенство:

\(\frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot v_1^2 + \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot v_2^2 = \frac{1}{2} \cdot (m_1 + m_2) \cdot v"^2 + Q\)

где \(Q\) - количество теплоты, выделенной при столкновении.

3. Из условия задачи известно, что второй шар покоится до столкновения. Это означает, что его начальная скорость \(v_2 = 0\).

Теперь решим систему уравнений:

1) Подставим \(v_2 = 0\) в первое уравнение:

\[m_1 \cdot v_1 = (m_1 + m_2) \cdot v"\]

2) Раскроем скобки и упростим:

\[m_1 \cdot v_1 = m_1 \cdot v" + m_2 \cdot v"\]

3) Факторизуем \(v"\):

\[v" \cdot (m_1 + m_2) = m_1 \cdot v_1\]

4) Разделим обе части на \(m_1 + m_2\):

\[v" = \frac{{m_1 \cdot v_1}}{{m_1 + m_2}}\]

Теперь найдём количество теплоты \(Q\):

1) Подставим значение \(v"\) во второе уравнение:

\(\frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot v_1^2 + \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot v_2^2 = \frac{1}{2} \cdot (m_1 + m_2) \cdot \left(\frac{{m_1 \cdot v_1}}{{m_1 + m_2}}\right)^2 + Q\)

2) Поскольку \(v_2 = 0\), упростим:

\(\frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot v_1^2 = \frac{1}{2} \cdot (m_1 + m_2) \cdot \left(\frac{{m_1 \cdot v_1}}{{m_1 + m_2}}\right)^2 + Q\)

3) Раскроем квадрат и упростим:

\(\frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot v_1^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{{m_1^2 \cdot v_1^2}}{{m_1 + m_2}} + Q\)

4) Перенесём все слагаемые на одну сторону и упростим:

\(Q = \frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot v_1^2 - \frac{1}{2} \cdot \frac{{m_1^2 \cdot v_1^2}}{{m_1 + m_2}}\)

5) Факторизуем \(v_1^2\):

\(Q = \frac{1}{2} \cdot v_1^2 \cdot \left(m_1 - \frac{{m_1^2}}{{m_1 + m_2}}\right)\)

Осталось только подставить значения масс и скоростей в формулу и произвести вычисления:

\[Q = \frac{1}{2} \cdot 2^2 \cdot \left(3 - \frac{{3^2}}{{3 + 2 \cdot 3}}\right)\]

\[Q = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \left(3 - \frac{{9}}{{9}}\right)\]

\[Q = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot (3 - 1)\]

\[Q = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2\]

\[Q = 4 \, \text{Дж}\]

Таким образом, при неупругом столкновении двух шаров, количество выделившейся теплоты составляет 4 Дж.