11) Иллюстрации касательных к функциям. Первая часть. ФИПИ

Когда мы говорим о касательных к функциям, мы обычно имеем в виду касательные прямые, которые касаются графика функции в определенной точке. Касательная прямая в данной точке графика функции имеет свойства, которые позволяют нам анализировать поведение функции около этой точки.

Для полного понимания касательных к функциям необходимо разобрать несколько концепций. Давайте начнем с определения самой касательной прямой.

Касательная прямая к графику функции в заданной точке является прямой, которая касается графика функции в этой точке и имеет ту же наклонную линию. Это означает, что касательная прямая и график функции имеют одинаковый угловой коэффициент в данной точке.

Чтобы найти уравнение касательной прямой к функции в заданной точке, мы должны использовать две основные информации: точку известной точки на графике функции и значение производной функции в этой точке.

Для нахождения производной функции, нам нужно использовать определение производной. Если \(f(x)\) - функция, то производная функции \(f"(x)\) в точке \(x_0\) определяется следующим образом:

\[f"(x_0) = \lim_{{h\to0}} \frac{{f(x_0 + h) - f(x_0)}}{{h}}\]

Таким образом, чтобы найти уравнение касательной прямой к функции в заданной точке, мы должны:

1. Найти значение функции в данной точке, подставив \(x_0\) в уравнение функции: \(f(x_0)\).
2. Найти значение производной функции в данной точке, подставив \(x_0\) в определение производной: \(f"(x_0)\).
3. Построить уравнение касательной прямой в форме \(y = mx + b\), где \(m\) - угловой коэффициент (равен \(f"(x_0)\)) и \(b\) - коэффициент смещения (равен \(f(x_0)\) минус произведение значений \(f"(x_0)\) и \(x_0\)).

Проиллюстрируем это на примере функции \(f(x) = x^2\). Давайте найдем уравнение касательной прямой к этой функции в точке \(x_0 = 2\).

1. Найдем \(f(x_0)\):
\(f(2) = 2^2 = 4\)

2. Найдем \(f"(x_0)\):
\(f"(x) = 2x\) (производная функции \(x^2\))
\(f"(2) = 2 \cdot 2 = 4\)

3. Построим уравнение касательной прямой:
Угловой коэффициент \(m = 4\), а точка на графике функции, через которую проходит касательная прямая, имеет координаты \((2, 4)\). Таким образом, у нас есть две известные точки, и мы можем использовать их для построения уравнения:
\(y = mx + b\)
\(4 = 4 \cdot 2 + b\)
\(4 = 8 + b\)
\(b = -4\)

Уравнение касательной прямой к функции \(f(x) = x^2\) в точке \(x_0 = 2\) имеет вид:
\(y = 4x - 4\)

В этом ответе мы подробно объяснили, как найти уравнение касательной к функции в заданной точке. Мы использовали функцию \(f(x) = x^2\) и точку \(x_0 = 2\) в качестве примера. Если у вас возникли какие-либо вопросы или вы хотите увидеть другие примеры, пожалуйста, сообщите мне!