Дан треугольник, в котором угол 30° лежит против стороны длиной 12. Требуется найти синус угла, лежащего против этой

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать определение синуса треугольника. Определим сначала, какую сторону треугольника обозначим как "a", а какую как "b".

У нас дан треугольник, в котором угол 30° лежит против стороны "a" длиной 12. То есть, у нас есть противоположная сторона "a" и угол 30° между сторонами "a" и "b". Для удобства давайте обозначим противоположную сторону как "a" и смежную сторону как "b".

Теперь, мы можем применить определение синуса треугольника: \(\sin(\theta) = \frac{{\text{{противоположная сторона}}}}{{\text{{гипотенуза}}}}\)

В нашем случае, \(a\) является противоположной стороной, поэтому нам нужно найти гипотенузу. Для этого мы можем воспользоваться теоремой Пифагора.

Теорема Пифагора гласит: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин двух других сторон.

Так как угол 30° лежит против стороны "a" длиной 12, длина стороны "b" равна \(b = \frac{{a}}{{\sqrt{3}}}\) (так как в 30-60-90 треугольнике соотношение сторон равно \(\frac{1}{\sqrt{3}}:1:2\)).

Теперь мы можем применить теорему Пифагора: \[a^2 = b^2 + 12^2\]

Подставим значение \(b\) в уравнение: \[a^2 = \left(\frac{{a}}{{\sqrt{3}}}\right)^2 + 12^2\]

Раскроем скобки и упростим уравнение: \[a^2 = \frac{{a^2}}{{3}} + 144\]

Умножим все члены уравнения на 3, чтобы избавиться от знаменателя: \[3a^2 = a^2 + 432\]

Вычтем \(a^2\) из обеих сторон уравнения: \[2a^2 = 432\]

Разделим обе стороны уравнения на 2, чтобы найти значение \(a^2\): \[a^2 = 216\]

Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон уравнения, чтобы найти значение \(a\): \(a = \sqrt{216}\)

Подставим значение \(a\) в уравнение для \(b\): \(b = \frac{{\sqrt{216}}}{{\sqrt{3}}}\)

Теперь у нас есть значения для сторон треугольника: \(a = \sqrt{216}\) и \(b = \frac{{\sqrt{216}}}{{\sqrt{3}}}\)

Наконец, мы можем вычислить синус угла, лежащего против стороны \(a\), используя определение синуса: \[\sin(30°) = \frac{{\text{{противоположная сторона}}}}{{\text{{гипотенуза}}}} = \frac{{\sqrt{216}}}{{\sqrt{216} + \frac{{\sqrt{216}}}{{\sqrt{3}}}}}\]

Таким образом, синус угла, лежащего против стороны длиной 12, равен \(\frac{{\sqrt{216}}}{{\sqrt{216} + \frac{{\sqrt{216}}}{{\sqrt{3}}}}}\)