Дан треугольник, в котором угол 30° лежит против стороны длиной 12. Требуется найти синус угла, лежащего против этой

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать определение синуса треугольника. Определим сначала, какую сторону треугольника обозначим как "a", а какую как "b".

У нас дан треугольник, в котором угол 30° лежит против стороны "a" длиной 12. То есть, у нас есть противоположная сторона "a" и угол 30° между сторонами "a" и "b". Для удобства давайте обозначим противоположную сторону как "a" и смежную сторону как "b".

Теперь, мы можем применить определение синуса треугольника: $\sin (\theta )=\frac{\text{{противоположная сторона}}}{\text{{гипотенуза}}}$

В нашем случае, $a$ является противоположной стороной, поэтому нам нужно найти гипотенузу. Для этого мы можем воспользоваться теоремой Пифагора.

Теорема Пифагора гласит: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин двух других сторон.

Так как угол 30° лежит против стороны "a" длиной 12, длина стороны "b" равна $b=\frac{a}{\sqrt{3}}$ (так как в 30-60-90 треугольнике соотношение сторон равно $\frac{1}{\sqrt{3}}:1:2$).

Теперь мы можем применить теорему Пифагора: $$a^2=b^2+{12}^2$$

Подставим значение $b$ в уравнение: $$a^2={\left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)}^2+{12}^2$$

Раскроем скобки и упростим уравнение: $$a^2=\frac{a^2}{3}+144$$

Умножим все члены уравнения на 3, чтобы избавиться от знаменателя: $$3a^2=a^2+432$$

Вычтем $a^2$ из обеих сторон уравнения: $$2a^2=432$$

Разделим обе стороны уравнения на 2, чтобы найти значение $a^2$: $$a^2=216$$

Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон уравнения, чтобы найти значение $a$: $a=\sqrt{216}$

Подставим значение $a$ в уравнение для $b$: $b=\frac{\sqrt{216}}{\sqrt{3}}$

Теперь у нас есть значения для сторон треугольника: $a=\sqrt{216}$ и $b=\frac{\sqrt{216}}{\sqrt{3}}$

Наконец, мы можем вычислить синус угла, лежащего против стороны $a$, используя определение синуса: $$\sin (30°)=\frac{\text{{противоположная сторона}}}{\text{{гипотенуза}}}=\frac{\sqrt{216}}{\sqrt{216}+\frac{\sqrt{216}}{\sqrt{3}}}$$

Таким образом, синус угла, лежащего против стороны длиной 12, равен $\frac{\sqrt{216}}{\sqrt{216}+\frac{\sqrt{216}}{\sqrt{3}}}$