1. Знайти точку перетину графіків двох рівнянь: 3x-y=-1 і x+y=5. Виберіть правильну відповідь: А) (1:4) Б) (2:7

1. Щоб знайти точку перетину графіків двох рівнянь, ми можемо вирішити систему рівнянь. Давайте розв"яжемо цю систему.

Система рівнянь:
\[ \begin{cases} 3x - y = -1 \\ x + y = 5 \end{cases} \]

Ми можемо розв"язати цю систему шляхом додавання або віднімання рівнянь, щоб отримати значення x і y.

Множимо друге рівняння на 3, щоб отримати 3x.

\[ \begin{cases} 3x - y = -1 \\ 3x + 3y = 15 \end{cases} \]

Тепер складаємо ці два рівняння, щоб виразити x.

\[
(3x - y) + (3x + 3y) = -1 + 15 \Rightarrow 6x + 2y = 14
\]

Зведенням цього рівняння, ми отримаємо:

\[
6x + 2y = 14 \Rightarrow 3x + y = 7 \quad \text{(рівняння 4)}
\]

Тепер, давайте вирішимо рівняння 4 з першим рівнянням:

\[
\begin{cases} 3x - y = -1 \\ 3x + y = 7 \end{cases}
\]

Додаванням цих двох рівнянь, ми отримуємо:

\[
(3x - y) + (3x + y) = -1 + 7 \Rightarrow 6x = 6 \Rightarrow x = 1
\]

Підставимо значення x в рівняння 1, щоб знайти значення y:

\[
3 \cdot 1 - y = -1 \Rightarrow 3 - y = -1 \Rightarrow -y = -4 \Rightarrow y = 4
\]

Таким чином, точка перетину графіків двох рівнянь - (1, 4).

Правильна відповідь з вибору - А) (1:4).

2. Давайте знайдемо розв"язок системи рівнянь графічним способом за допомогою графіків.

Система рівнянь 1:
\[ \begin{cases} 2x - y = 2 \\ 2y - x = 2 \end{cases} \]

Система рівнянь 2:
\[ \begin{cases} 3x + 2y = 8 \\ 14y - 2r = 3 \end{cases} \]

Ми зобразимо графіки обох систем рівнянь на координатній площині і знайдемо їхні точки перетину.

З графіків ми бачимо, що перша система рівнянь має точку перетину (2, 2), а друга система рівнянь не має точки перетину, тому що графіки паралельні.

Отже, розв"язок першої системи рівнянь графічним способом - (2, 2), а друга система рівнянь не має розв"язку.

3. Давайте знайдемо розв"язок системи рівнянь методом підстановок.

Система рівнянь 1:
\[ \begin{cases} -y = 8 \\ 15x + 3y = 12 \end{cases} \]

Система рівнянь 2:
\[ \begin{cases} 2x + 4y = 30 \end{cases} \]

Давайте почнемо з першої системи рівнянь:

З рівняння 1 ми можемо отримати значення y:

\[ -y = 8 \Rightarrow y = -8 \]

Тепер ми можемо підставити це значення y в рівняння 2:

\[ 15x + 3(-8) = 12 \Rightarrow 15x - 24 = 12 \Rightarrow 15x = 36 \Rightarrow x = \frac{36}{15} = \frac{12}{5} \]

Таким чином, розв"язок першої системи рівнянь методом підстановок - \(x = \frac{12}{5}\), \(y = -8\).

Додаткове завдання:

Знайдемо розв"язок системи рівнянь методом додавання:

Система рівнянь:
\[ \begin{cases} 8x + 3y = 12 \\ 12x - 4y = -18 \end{cases} \]

Для початку, ми можемо помножити перше рівняння на 4 і друге рівняння на 3, щоб узгодити коефіцієнти y:

\[ \begin{cases} 32x + 12y = 48 \\ 36x - 12y = -54 \end{cases} \]

Тепер, додамо ці два рівняння:

\[ (32x + 12y) + (36x - 12y) = 48 + (-54) \Rightarrow 68x = -6 \Rightarrow x = \frac{-6}{68} = -\frac{3}{34} \]

Підставимо це значення x в будь-яке з початкових рівнянь, наприклад, можемо використати перше рівняння:

\[ 8 \cdot \left(-\frac{3}{34}\right) + 3y = 12 \Rightarrow -\frac{24}{17} + 3y = 12 \Rightarrow 3y = 12 + \frac{24}{17} = \frac{204 + 24}{17} = \frac{228}{17} \Rightarrow y = \frac{76}{17} \]

Таким чином, розв"язок системи рівнянь методом додавання - \(x = -\frac{3}{34}\), \(y = \frac{76}{17}\).