1. Запишите точки, которые находятся: а) на оси x; б) в плоскости yz. A (3; 5; 0), B (0; 0; 4), C (0; 5; 0), D

Хорошо, давайте начнем с задачи номер 1.

1. а) Чтобы найти точки, которые находятся на оси x, нам нужны точки, у которых координата x равна нулю. В данной задаче такая точка это B (0; 0; 4).

б) Чтобы найти точки, которые находятся в плоскости yz, нам нужны точки, у которых координата x равна нулю. В данной задаче такие точки C (0; 5; 0), E (-1; 0; 0), F (-1; 1; 1), G (0; -1; -9) и K (0; 0; 0).

2. Неколлинеарные векторы - это векторы, которые не лежат на одной прямой. Давайте возьмем вектор AB и вектор AC.

Вектор AB = B - A = (-10; 5; 4) - (3; -2; 1) = (-13; 7; 3).
Вектор AC = C - A = (0; 5; 0) - (3; -2; 1) = (-3; 7; -1).

Сумма векторов AB и AC равна AB + AC = (-13; 7; 3) + (-3; 7; -1) = (-16; 14; 2).

3. а) Чтобы найти длину вектора AB, мы можем использовать формулу длины вектора:

\(|AB| = \sqrt{(-10 - 3)^2 + (5 - (-2))^2 + (4 - 1)^2}\)

Выполняя вычисления, получаем: \(|AB| = \sqrt{169 + 49 + 9} = \sqrt{227}\).

б) Чтобы найти середину отрезка AB, мы можем использовать формулу середины отрезка:

\(M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2}\right)\)

Соответственно, координаты середины отрезка AB будут:

\(M\left(\frac{-10 + 3}{2}, \frac{5 + (-2)}{2}, \frac{4 + 1}{2}\right)\)

Выполняя вычисления, получаем: \(M\left(-\frac{7}{2}, \frac{3}{2}, \frac{5}{2}\right)\).

4. а) Чтобы найти скалярное произведение векторов и , нам нужно перемножить соответствующие координаты векторов и сложить результаты:

\(\vec{v} \cdot \vec{u} = 2 \cdot 3 + (-1) \cdot (-2) + 4 \cdot 1 = 6 + 2 + 4 = 12\).

б) Чтобы найти косинус угла между векторами и , мы можем использовать формулу:

\(\cos(\theta) = \frac{\vec{v} \cdot \vec{u}}{|\vec{v}| \cdot |\vec{u}|}\)

Где \(\theta\) это угол между векторами \(\vec{v}\) и \(\vec{u}\).

Значение угла между векторами \(\vec{v}\) и \(\vec{u}\) будет равно:

\(\cos(\theta) = \frac{12}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 4^2} \cdot \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 1^2}}\)

Выполняя вычисления, получаем: \(\cos(\theta) \approx 0.54\).

5. Чтобы найти координаты вектора , мы можем использовать формулу разностей координат:

\(\vec{w} = \vec{v} - \vec{u} = (0 -(-1); -9 - 3; 2 - 7)\)

Выполняя вычисления, получаем: \(\vec{w} = (1; -12; -5)\).

Таким образом, координаты вектора \(\vec{w}\) равны (1; -12; -5).

Надеюсь, эти пошаговые решения помогут вам понять задачи. Если у вас возникнут ещё вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь спрашивать!