1. Задача: Построить прямую, проходящую через данную точку и перпендикулярную данной прямой. На рисунке 87 даны прямая

Чтобы доказать, что прямая "мп" является перпендикулярной данной прямой "а", мы можем использовать свойства окружностей и углы, образующиеся внутри них. Давайте рассмотрим каждый шаг подробно.

1. Нам дана прямая "а" и точка "м", принадлежащая этой прямой. Мы можем указать это на рисунке.

\[a\]

2. На лучах прямой "а" отложены равные отрезки "ма" и "мб". Это означает, что отрезки "ма" и "мб" имеют одинаковую длину, поэтому точки "а", "м" и "б" лежат на окружности с центром в точке "м" и радиусом "ма" (или "мб"). Мы строим эти окружности и указываем их на рисунке.

\[a\]

3. Поскольку окружности с центрами "а" и "б" и радиусом "аб" пересекаются, мы получаем две точки пересечения - "п" и "к". Укажем их на рисунке.

\[a\]

4. Теперь смотрим на треугольник "амп". Мы можем заметить, что радиусы окружностей "ам" и "ап" имеют одинаковую длину ("ма"). Таким образом, треугольник "амп" является равнобедренным, и угол "маp" равен углу "мра". Поскольку луч "мр" является хордой окружности "апб", угол "мра" также равен углу "мпк". Также угол "мпк" является центральным углом, стоящим на хорде "аб". Следовательно, угол "мпк" равен половине угла "апб". Указываем все углы на рисунке.

\[a\]

5. Теперь посмотрим на треугольники "апб" и "мпк". У нас есть два равных угла: угол "апб" и угол "мпк". По свойству перпендикулярных прямых, если два угла находятся в положении, когда их сумма равна 180 градусам, то эти прямые являются перпендикулярными. В данном случае, угол "апб" и угол "мпк" являются равными и их сумма составляет 180 градусов. Следовательно, прямая "мп" перпендикулярна данной прямой "а".

\[a\]

Таким образом, мы доказали, что прямая "мп" является перпендикулярной данной прямой "а".