КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 2 Треугольники 1 1. На изображении 165, стороны ST и ML равны 5 см, стороны RT и MN равны 8 см, углы

Давайте рассмотрим каждую задачу по очереди:

1. Чтобы подтвердить, что треугольники ARST и ANLM равны, мы можем использовать два правила равенства треугольников. Первое правило - это сторона-сторона-сторона (ССС), которое устанавливает равенство треугольников, если соответствующие стороны равны. Второе правило - это сторона-угол-сторона (СУС), которое устанавливает равенство треугольников, если две стороны и угол между этими сторонами равны.

Для треугольников ARST и ANLM заданы стороны и углы. По условию у нас есть следующая информация:
- Стороны ST и ML равны 5 см.
- Стороны RT и MN равны 8 см.
- Углы ZT и ZM равны 20°.

Теперь нам нужно сравнить стороны и углы треугольников ARST и ANLM:

- Сторона AR является продолжением стороны ST, а сторона AN является продолжением стороны ML. Поэтому, учитывая, что ST и ML равны, стороны AR и AN также равны 5 см.
- Сторона RT и сторона MN обе равны 8 см, поэтому стороны RT и MN равны в обоих треугольниках.
- Угол ZT и угол ZM равны 20°. Учитывая, что оба треугольника являются прямоугольными, у них угол, смежный с углом ZT или ZM, также равен 90° - 20° = 70°.

Таким образом, мы установили равенство сторона-сторона-сторона (ССС) и сторона-угол-сторона (СУС). Следовательно, треугольники ARST и ANLM равны.

2. Чтобы найти длину стороны AB, нам нужно использовать теорему косинусов в треугольнике GBD. Теорема косинусов гласит:
\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)\]
Где c - длина стороны противолежащей углу C, a и b - длины других двух сторон, C - мера угла C.

В задаче дано:
- Сторона BD равна 12 см.
- Сторона DG равна 6 см.
- Сторона DC равна 11 см.
- Угол B равен 91°.

Мы хотим найти длину стороны AB.

Применим теорему косинусов к треугольнику GBD, где сторона GB соответствует стороне b, сторона BD - стороне a и углу B - углу C.

\[AB^2 = GB^2 + BD^2 - 2 \cdot GB \cdot BD \cdot \cos(B)\]
\[AB^2 = (GB = DG + GB)^2 + BD^2 - 2 \cdot (DG + GB) \cdot BD \cdot \cos(B)\]
\[AB^2 = (6 + 91)^2 + 12^2 - 2 \cdot (6 + 91) \cdot 12 \cdot \cos(91)\]
\[AB^2 = 97^2 + 144 - 2 \cdot 97 \cdot 12 \cdot \cos(91)\]
\[AB^2 = 9409 + 144 - 2 \cdot 97 \cdot 12 \cdot (-0.4480736)\]
\[AB^2 = 9553 - 2 \cdot 97 \cdot 12 \cdot (-0.4480736)\]
\[AB^2 = 9553 + 106.5396\]
\[AB^2 \approx 9659.5396\]
\[AB \approx \sqrt{9659.5396}\]
\[AB \approx 98.29\]

Таким образом, длина стороны AB составляет около 98.29 см.

3. Найдем длины сторон равнобедренного треугольника.

Пусть основание равнобедренного треугольника равно \(x\) см, а боковая сторона - \(x+4\) см. Тогда периметр равнобедренного треугольника составляет:
\[2x + (x+4) = 3x + 4\]

Дано, что периметр равен 97 см, поэтому уравнение будет следующим образом:
\[3x + 4 = 97\]

Вычтем 4 из обеих частей уравнения:
\[3x = 93\]

Теперь разделим обе части на 3:
\[x = 31\]

Таким образом, основание равнобедренного треугольника равно 31 см, и боковая сторона равна \(31 + 4 = 35\) см.

4. Чтобы подтвердить, что угол ZB равен \(\alpha\), мы можем использовать соотношение сторон треугольника ABC и теорему синусов.

Дано:
- Периметр треугольника ABC равен 51 см.
- Сторона AB равна 18 см.
- В соотношении сторон BC:AC равно 5:6.

Мы хотим подтвердить, что угол ZB равен \(\alpha\).

Из соотношения сторон BC:AC = 5:6, мы можем представить стороны BC и AC как \(5x\) и \(6x\), соответственно. При этом у нас будет следующее уравнение:
\[5x + 6x + 18 = 51\]

Скомбинируем коэффициенты:
\[11x + 18 = 51\]

Теперь вычтем 18 из обеих сторон:
\[11x = 33\]

Разделим обе стороны на 11:
\[x = 3\]

Таким образом, BC = 5x = 5 * 3 = 15 см и AC = 6x = 6 * 3 = 18 см.

Поскольку у нас теперь известны длины всех сторон треугольника ABC, мы можем применить теорему синусов для угла ZB:
\[\frac{{\sin(ZB)}}{{AB}} = \frac{{\sin(\alpha)}}{{BC}}\]

Подставим известные значения:
\[\frac{{\sin(ZB)}}{{18}} = \frac{{\sin(\alpha)}}{{15}}\]

Теперь найдем угол ZB:
\[\sin(ZB) = \frac{{15 \cdot \sin(\alpha)}}{{18}}\]

Таким образом, угол ZB равен \(\alpha\), так как \(\sin(ZB) = \sin(\alpha)\).