1) Задача гласит, что у нас есть правильная четырехугольная пирамида SABCD, где сторона AB основания равна 16, а высота

Для доказательства параллельности плоскостей MNK и SBC мы можем использовать свойство правильных четырехугольных пирамид, которое гласит, что плоскости, проходящие через боковые ребра и вершину основания пирамиды, параллельны ее основанию.

Пусть точка O - середина ребра AB основания пирамиды, а точка L - середина ребра CD:

\[OL \perp CD\]
\[OM \perp AB\]
\[ON \perp CD\]
\[AK \perp AS\]
\[AK \parallel CD\]
\[AK \parallel MN\]

Для начала, докажем, что \(\overrightarrow{SM}\) и \(\overrightarrow{SL}\) лежат в одной плоскости.

Так как точка M - середина ребра AB, вектор \(\overrightarrow{SM}\) может быть получен как разность векторов \(\overrightarrow{SA}\) и \(\overrightarrow{AM}\):

\[\overrightarrow{SM} = \overrightarrow{SA} - \overrightarrow{AM}\]

Также, вектор \(\overrightarrow{SL}\) может быть получен как разность векторов \(\overrightarrow{SA}\) и \(\overrightarrow{AL}\):

\[\overrightarrow{SL} = \overrightarrow{SA} - \overrightarrow{AL}\]

Таким образом, мы можем выразить \(\overrightarrow{SL}\) через векторы \(\overrightarrow{SA}\) и \(\overrightarrow{AM}\):

\[\overrightarrow{SL} = \overrightarrow{SM} + \overrightarrow{AM}\]

Теперь, чтобы показать, что \(\overrightarrow{SM}\) и \(\overrightarrow{SL}\) лежат в одной плоскости, мы должны доказать, что их векторное произведение равно нулю:

\[\overrightarrow{SM} \times \overrightarrow{SL} = \overrightarrow{SM} \times (\overrightarrow{SM} + \overrightarrow{AM}) = \overrightarrow{SM} \times \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{SM} \times \overrightarrow{SM} = \overrightarrow{SM} \times \overrightarrow{AM}\]

Заметим, что векторное произведение \(\overrightarrow{SM} \times \overrightarrow{AM}\) будет равно нулю, так как векторы \(\overrightarrow{SM}\) и \(\overrightarrow{AM}\) коллинеарны, их скалярное произведение будет равно произведению их длин на косинус угла между ними, и так как они имеют одинаковую ориентацию (сонаправлены), то косинус угла между ними равен 1.

Таким образом, мы доказали, что \(\overrightarrow{SM}\) и \(\overrightarrow{SL}\) лежат в одной плоскости.

Теперь мы можем заметить, что плоскость SBC проходит через боковое ребро SB и вершину основания S пирамиды, а плоскость MNK проходит через боковое ребро MN и вершину основания M пирамиды. Так как плоскости SBM и SBC параллельны, а вектора, лежащие в плоскости SBM и MNK (такие как \(\overrightarrow{SM}\) и \(\overrightarrow{SL}\)), лежат в одной плоскости, то мы можем заключить, что плоскость MNK параллельна плоскости SBC.

Таким образом, мы доказали, что плоскости MNK и SBC параллельны.