1) Якого типу є кут B трикутника ABC, враховуючи, що вершини мають координати A(4;-1), B(2;3) та C(-4;1)? 2) Який

1) Для того, чтобы определить тип угла B треугольника ABC, необходимо вычислить его угол в градусах.

Пусть вершины треугольника имеют координаты A(4;-1), B(2;3) и C(-4;1).

Для начала, найдем стороны треугольника AB, BC и AC.

AB:
\[AB = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}\]
\[AB = \sqrt{(2-4)^{2}+(3-(-1))^{2}}\]
\[AB = \sqrt{(-2)^{2}+4^{2}}\]
\[AB = \sqrt{4+16}\]
\[AB = \sqrt{20}\]
\[AB = 2\sqrt{5}\]

BC:
\[BC = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}\]
\[BC = \sqrt{(-4-2)^{2}+(1-3)^{2}}\]
\[BC = \sqrt{(-6)^{2}+(-2)^{2}}\]
\[BC = \sqrt{36+4}\]
\[BC = \sqrt{40}\]
\[BC = 2\sqrt{10}\]

AC:
\[AC = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}\]
\[AC = \sqrt{(4-(-4))^{2}+(-1-1)^{2}}\]
\[AC = \sqrt{(4+4)^{2}+(-2)^{2}}\]
\[AC = \sqrt{8^{2}+4}\]
\[AC = \sqrt{64+4}\]
\[AC = \sqrt{68}\]
\[AC = 2\sqrt{17}\]

Теперь найдем косинус угла B, используя формулу косинусов:
\[\cos B = \frac{{AB^{2} + BC^{2} - AC^{2}}}{{2 \cdot AB \cdot BC}}\]
\[\cos B = \frac{{(2\sqrt{5})^{2} + (2\sqrt{10})^{2} - (2\sqrt{17})^{2}}}{{2 \cdot 2\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{10}}}\]
\[\cos B = \frac{{4 \cdot 5 + 4 \cdot 10 - 4 \cdot 17}}{{4 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{10}}}\]
\[\cos B = \frac{{20 + 40 - 68}}{{4 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{10}}}\]
\[\cos B = \frac{{-8}}{{4 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{10}}}\]
\[\cos B = -\frac{{2}}{{\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}}}\]

Теперь, найдем значение арккосинуса \(\cos^{-1}(-\frac{{2}}{{\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}}})\) с использованием калькулятора.

Значение арккосинуса \(\cos^{-1}\) равно примерно 123.69 градусов.

Таким образом, угол B треугольника ABC является остроугольным.

2) Для определения значения модуля вектора AP, когда AP=2AC, и вершины треугольника имеют координаты A(4;-1) и B(2;3), необходимо сначала найти значение вектора AC, а затем вычислить модуль вектора AP.

Вектор AC можно вычислить, используя разность координат точек A и C:
\[AC = (x_{2}-x_{1}, y_{2}-y_{1}) = (-4-4, 1-(-1)) = (-8, 2)\]

Теперь найдем вектор AP, умножив вектор AC на 2:
\[AP = 2 \cdot AC = 2 \cdot (-8, 2) = (-16, 4)\]

Для определения модуля вектора AP применим формулу:
\[|AP| = \sqrt{(-16)^{2} + 4^{2}} = \sqrt{256 + 16} = \sqrt{272} \approx 16.49\]

Таким образом, значение модуля вектора AP, когда AP=2AC и вершины треугольника имеют координаты A(4;-1) и B(2;3), составляет приблизительно 16.49.

Мне надеюсь, что разъяснение шаг за шагом поможет вам лучше понять решение задачи.