1) Яким є периметр прямокутного трикутника, якщо радіус кола, вписаного в нього, становить 1 см, а його катети мають

Задача 1:
Перед тим, як розв"язувати цю задачу, нам потрібно визначити, які властивості співвідносяться між вписаним колом і прямокутним трикутником.

Відомо, що у будь-якому прямокутному трикутнику коло, вписане в нього, дотикається до прямої, що проходить через середину гіпотенузи і одну з вершин прямого кута. З цього випливає, що радіус вписаного кола є відстанню від центра кола до сторін прямокутного трикутника.

Отже, ми можемо використовувати цю властивість, щоб знайти периметр прямокутного трикутника. Для цього потрібно додати до довжини кожної сторони прямокутного трикутника дві довжини радіуса вписаного кола (так як радіус дотикається до кожної зі сторін). Отже, периметр прямокутного трикутника буде рівний сумі довжини сторін трикутника та вдвічі довжині радіуса вписаного кола.

У нашому випадку, катети прямокутного трикутника мають довжини 3 см і 4 см, а радіус вписаного кола становить 1 см. Визначимо периметр:

Периметр = (довжина першого катета + довжина другого катета + довжина гіпотенузи) + (2 * радіус вписаного кола)

Периметр = (3 см + 4 см + 5 см) + (2 * 1 см) = 12 см

Отже, периметр прямокутного трикутника становить 12 см.

Задача 2:
Щоб розв"язати цю задачу, нам також потрібно використовувати властивості про вписане коло в трикутник.

Відомо, що в равнобедренному трикутнику, висота, проведена з вершини кута, ділить основу на дві рівні частини. А також, висота, проведена з вершини кута, є медіаною та бісектрисою.

У нашому випадку, відстань від центра вписаного кола до вершини кута Р становить 9,8 см, тобто половина відстані від вершини Р до основи трикутника. Оскільки ми маємо равнобедренний трикутник, а відстань від вершини Р до основи трикутника дорівнює радіусу вписаного кола, то половина основи трикутника також дорівнюватиме радіусу вписаного кола.

Отже, радіус вписаного кола дорівнюватиме половині відстані від центра вписаного кола до вершини кута Р:

Радіус вписаного кола = половина відстані від центра вписаного кола до вершини кута Р = 9,8 см / 2 = 4,9 см

Задача 3:
Щоб розв"язати цю задачу, нам потрібно застосувати певні властивості рівнобедреного трикутника та вписаного кола.

Відомо, що у рівнобедреному трикутнику, бісектриса кута основи ділить основу і дотичне до неї у відношенні, рівному відношенню довжин інших двох сторін трикутника. Тому, якщо бічна сторона рівнобедреного трикутника поділена точкою дотику з вписаним колом у відношенні 5:2, то ми можемо розрахувати його довжину.

Нехай x буде довжиною однієї частини бічної сторони, яку ділить точка дотику з вписаним колом. Тоді довжина іншої частини бічної сторони буде 5x (за умовою задачі).

Оскільки периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 36 см, ми можемо скласти рівняння, щоб знайти значення x:

x + x + 5x = 36 см
7x = 36 см
x = 36 см / 7
x ≈ 5,14 см

Таким чином, довжина однієї частини бічної сторони дорівнює 5,14 см, а довжина іншої частини буде 5 * 5,14 см = 25,7 см.

Отже, сторони рівнобедреного трикутника мають довжину 5,14 см, 5,14 см і 25,7 см.