Сравните длины отрезков АВ и АС, если точки А, В, С и произвольная точка О лежат на одной прямой, и вектор ОВ равен

Чтобы решить данную задачу, давайте рассмотрим следующие векторы: \(\overrightarrow{OA}\), \(\overrightarrow{OB}\), и \(\overrightarrow{OC}\). Также введем понятие векторного равенства: если два вектора имеют равные концы и равные начала (или, что то же самое, их направления и величины совпадают), то они равны между собой.

Так как точки \(А\), \(В\) и \(С\) лежат на одной прямой, то векторы \(\overrightarrow{OA}\), \(\overrightarrow{OB}\) и \(\overrightarrow{OC}\) можно представить как отрезки, соединяющие начало вектора с концами \(А\), \(В\) и \(С\) соответственно. Обозначим точку, в которой находится конец вектора \(\overrightarrow{OA}\), как \(А"\), точку конца вектора \(\overrightarrow{OB}\) как \(В"\), и точку конца вектора \(\overrightarrow{OC}\) как \(С"\). Тогда имеем следующую ситуацию:

\[
\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{AA"} \quad \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{BB"} \quad \text{и} \quad \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{CC"}
\]

Также известно, что \( \overrightarrow{OB} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC}) \). Мы можем записать это в виде векторного равенства следующим образом:

\[
\overrightarrow{BB"} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{AA"} + \overrightarrow{CC"})
\]

Теперь давайте учтем, что векторы \(\overrightarrow{OA}\), \(\overrightarrow{AA"}\) и \(\overrightarrow{OC}\), \(\overrightarrow{CC"}\) имеют одинаковое направление и одинаковую величину. Следовательно, мы можем заменить эти векторы на равные им векторы \(\overrightarrow{OB}\) и \(\overrightarrow{BB"}\) соответственно:

\[
\overrightarrow{BB"} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{BB"})
\]

Получившееся векторное уравнение можно решить относительно \(\overrightarrow{BB"}\):

\[
\overrightarrow{BB"} - \frac{1}{2} \overrightarrow{BB"} = \frac{1}{2} \overrightarrow{OB}
\]

\[
\frac{1}{2} \overrightarrow{BB"} = \frac{1}{2} \overrightarrow{OB}
\]

Теперь умножим обе части уравнения на 2:

\[
\overrightarrow{BB"} = \overrightarrow{OB}
\]

Из этого уравнения следует, что векторы \(\overrightarrow{BB"}\) и \(\overrightarrow{OB}\) равны между собой. Равенство векторов можно интерпретировать как равенство отрезков, которые они представляют. Таким образом, отрезок \(AB\) равен отрезку \(AC\), или, другими словами, длины отрезков \(AB\) и \(AC\) - одинаковы.

Давайте обоснуем это. Вектор \(\overrightarrow{BB"}\) представляет собой отрезок \(AB\), а вектор \(\overrightarrow{OB}\) представляет собой отрезок \(OC\). Из вышеуказанного уравнения \(\overrightarrow{BB"} = \overrightarrow{OB}\) следует, что отрезок \(AB\) равен отрезку \(AC\).

Таким образом, исходя из предоставленных условий, мы можем заключить, что длины отрезков \(AB\) и \(AC\) одинаковы.