1) Яка є довжина висоти трикутника, яка проведена до сторони, довжина якої дорівнює а, а кути прилеглі до неї

Задача 1:
Для решения этой задачи, нам понадобится знать тригонометрические соотношения для треугольника. В треугольнике с углом 45° и 60°, каждая сторона будет относиться к гипотенузе прямоугольного треугольника (угол 90°) так, как показано на рисунке:

\[
\begin{align*}
\text{Сторона} \ a \ \rightarrow & \ \text{Гипотенуза} \\
\text{Прилежащая \ углу \ 60°} \ \rightarrow & \ \text{Катет} \\
\text{Прилежащая \ углу \ 45°} \ \rightarrow & \ \text{Дополнительный \ катет}
\end{align*}
\]

Таким образом, мы получаем прямоугольный треугольник, где сторона, длина которой равна \(a\), выступает в качестве гипотенузы, а катеты равны другой стороне и дополнительному катету. Теперь, с помощью теоремы Пифагора, мы можем выразить длину высоты (\(h\)), проведенной к стороне с длиной \(a\), используя следующую формулу:

\[h = a \cdot \sin(45^\circ) = a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\]

Поэтому, длина высоты треугольника равна \(h = \frac{a\sqrt{2}}{2}\).

Задача 2:
Для решения этой задачи, нам также потребуются тригонометрические соотношения для треугольника. Учитывая, что стороны \(AC\) и \(AB\) равны, мы можем сделать вывод, что углы при основании треугольника также равны. Обозначим этот угол как \(\alpha\). Таким образом, каждый угол при вершине треугольника равен \(180^\circ - 2\alpha\).

Обозначим \(AM\) как \(h_1\) и \(BD\) как \(h_2\). Из условия задачи известно, что соотношение \(BD\) к \(AM\) равно 3:1, что можно записать математически как \(\frac{BD}{AM} = 3:1\).

Теперь мы можем использовать определение косинуса угла. Для треугольника \(ABC\), где угол \(C\) расположен против основания \(AB\), мы можем записать косинус этого угла следующим образом:

\[\cos(C) = \frac{h_2}{h_1}\]

Используя известное соотношение между \(BD\) и \(AM\) (3:1), мы можем переписать косинус \(C\) следующим образом:

\[\cos(C) = \frac{3}{1} = 3\]

Задача 3:
Для решения этой задачи, мы можем использовать синус угла, так как нам известна длина стороны треугольника (\(10\sqrt{3}\) см) и угол, образованный этой стороной и проекцией (\(45^\circ\)).

Согласно определению синуса, мы можем записать следующее соотношение:

\[\sin(45^\circ) = \frac{\text{проекция}}{\text{сторона}}\]

Подставляем известные значения:

\[\sin(45^\circ) = \frac{\text{проекция}}{10\sqrt{3}}\]

Теперь найдем проекцию, умножив обе стороны на \(10\sqrt{3}\):

\[\text{проекция} = 10\sqrt{3} \cdot \sin(45^\circ) = 10\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{6}\ \text{см}\]

Таким образом, длина проекции равна \(5\sqrt{6}\) см.

Задача 4:
Для решения этой задачи, мы можем использовать тригонометрические соотношения для треугольника. Примем основание равным \(b\), а высоту равной \(h\).

Так как треугольник равнобедренный, то угол \(\beta\) равен углу при вершине не равнобедренного основания.

Используя определение тангенса угла, мы можем записать следующее соотношение:

\[\tan(\beta) = \frac{h}{\frac{b}{2}}\]

Упростим формулу:

\[\tan(\beta) = \frac{2h}{b}\]

Из этого соотношения мы можем выразить основание \(b\), умножив обе стороны на \(\frac{b}{2}\):

\[\frac{b}{2} \tan(\beta) = h\]

Теперь найдем основание \(b\), умножив обе стороны на \(\frac{2}{\tan(\beta)}\):

\[b = \frac{2h}{\tan(\beta)}\]

Таким образом, длина основания равна \(\frac{2h}{\tan(\beta)}\).

Задача 5: