1. Як знайти радіус кола, вписаного в прямокутний трикутник зі сторонами 6 см, 8 см і 10 см, на завтра? 2. Як знайти

Задача 1.

Для нахождения радиуса \(r\) вписанного в прямоугольный треугольник, можно воспользоваться формулой \(r = \frac{{a + b - c}}{2}\), где \(a\), \(b\), и \(c\) - длины сторон треугольника. В нашем случае, \(a = 6\) см, \(b = 8\) см, и \(c = 10\) см.

Итак, подставляем значения в формулу:
\[r = \frac{{6 + 8 - 10}}{2} = \frac{4}{2} = 2\]

Ответ: радиус вписанного круга равен 2 см.

Задача 2.

Для нахождения расстояния от центра круга до вершины треугольника, можно воспользоваться формулой \(h = r \sin(a)\), где \(h\) - искомое расстояние (высота), \(r\) - радиус вписанного круга, и \(a\) - угол между радиусом и стороной треугольника. В нашем случае, \(r = 2.7\) см и \(a = 60\) градусов.

Итак, подставляем значения в формулу:
\[h = 2.7 \cdot \sin(60^\circ)\]

Для нахождения синуса угла 60 градусов, воспользуемся таблицей значений или калькулятором и получаем \(h \approx 2.34\) см.

Ответ: расстояние от центра круга до вершины треугольника приближенно равно 2.34 см.

Задача 3.

Пусть \(a\) - боковая сторона рассматриваемого равнобедренного треугольника, и \(r\) - радиус вписанного круга. Мы знаем, что точка дотронулась до вписанного круга и делит сторону в отношении 4:3, начиная с вершины треугольника.

По определению, радиус \(r\) является высотой равнобедренного треугольника, опущенной из вершины на основание. Высота разделяет основание на две равные части, поэтому по отношению 4:3, основание разделяется на 4 части и 3 части.

Обозначим длину основания как \(b\). Тогда получаем, что длина первой части основания равна \(\frac{4}{7}b\), а длина второй части равна \(\frac{3}{7}b\).

Так как равнобедренный треугольник имеет две равные боковые стороны, получаем следующее уравнение:
\(\frac{4}{7}b + \frac{4}{7}b + a = 28\)

Упростим уравнение:
\(\frac{8}{7}b + a = 28\)

Также, по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике со сторонами \(b\) и \(a\), и гипотенузой \(c\) (в данном случае - диаметр круга) верно следующее:
\(b^2 + a^2 = c^2\)

Зная, что диаметр равен удвоенному радиусу, получаем:
\(b^2 + a^2 = (2r)^2 = 4r^2\)

Итак, у нас система из двух уравнений:
\(\begin{cases} \frac{8}{7}b + a = 28\\ b^2 + a^2 = 4r^2 \end{cases}\)

Решая эту систему уравнений, получим значения \(b\), \(a\) и \(r\).

Ответ: периметр равнобедренного треугольника равен 28 см.