1. Which of the given sequences is an arithmetic progression? a) 3; 6; 12; 24;... b) 7; 10; 12; 13;... c) -10

1. Первая последовательность является арифметической прогрессией, так как разница между каждыми двумя последовательными членами увеличивается в два раза: 3, 6, 12, 24, ...
Вторая последовательность не является арифметической прогрессией, так как разница между некоторыми последовательными членами не постоянна: 7, 10, 12, 13, ...
Третья последовательность не является арифметической прогрессией, так как разница между каждыми двумя последовательными членами не постоянна: -10, 0, 10, -10, ...
Четвертая последовательность является арифметической прогрессией со знаком "-3", так как разница между каждыми двумя последовательными членами составляет -3: 20, 17, 14, 11, ...

2. Первая последовательность не является геометрической прогрессией, так как разница между каждыми двумя последовательными членами не постоянна.
Вторая последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем "0.5", так как каждый последующий член равен предыдущему, умноженному на 0.5: 20, 10, 5, 2.5, ...
Третья последовательность не является геометрической прогрессией, так как отношение каждых двух последовательных членов не постоянно: 13, 31, 13, 31, ...
Четвертая последовательность не является геометрической прогрессией, так как отношение каждых двух последовательных членов не постоянно: 14, 31, 62, 124, ...

3. Для решения этой задачи, используем формулу для арифметической прогрессии:
\(a_n = a_1 + (n-1)d\), где \(a_n\) - n-ый член прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии, \(n\) - номер члена прогрессии, \(d\) - разность между двумя последовательными членами.

Дано: \(a_4 = 17\), \(d = 4\).
Подставим значения в формулу:
\(a_{21} = a_1 + (21-1) \cdot 4\).
\(a_{21} = a_1 + 20 \cdot 4\).

Мы не знаем значений первого члена, поэтому нам нужна дополнительная информация для того, чтобы найти его значение. Таким образом, ответ недоступен по данным данной задачи.

4. Для решения этой задачи, воспользуемся формулой для геометрической прогрессии:
\(b_n = b_1 \cdot r^{(n-1)}\), где \(b_n\) - n-ый член прогрессии, \(b_1\) - первый член прогрессии, \(n\) - номер члена прогрессии, \(r\) - общий отношение между двумя последовательными членами.

Дано: \(b_1 = 3\), \(b_6 = 96\).
Подставляем значения в формулу и получаем уравнение:
\(b_6 = b_1 \cdot r^{(6-1)}\).
\(96 = 3 \cdot r^5\).

Решаем уравнение для \(r\):
\(r^5 = \frac{96}{3}\).
\(r^5 = 32\).
\(r = \sqrt[5]{32}\).

Поэтому общий отношение геометрической прогрессии равно 2, и ответом является вариант ответа "b) 2".

5. Сумма первых n членов арифметической прогрессии может быть найдена с помощью формулы:
\(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\), где \(S_n\) - сумма первых n членов прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии, \(a_n\) - n-ый член прогрессии.

Для данной задачи, нам нужно найти сумму первых шести членов арифметической прогрессии. Так как нам даны только первые четыре члена прогрессии, нам нужна дополнительная информация для того, чтобы найти ответ. Таким образом, ответ недоступен по данным данной задачи.