1) What is the simplified form of 2*log base 7 of 16 divided by (log base 3 of the square root of 10 plus 1) plus (log

1) Чтобы упростить данное выражение, воспользуемся свойствами логарифмов и правилами операций с ними.

Сначала обратимся к свойству логарифма, согласно которому \(\log_a{b^c} = c \cdot \log_a{b}\). Применим это свойство к первому слагаемому:
\[2\log_7{16} = \log_7{16^2} = \log_7{256}\]

Теперь посмотрим на оставшуюся часть выражения:
\[\left(\log_3{\sqrt{10} + 1}\right) + \left(\log_3{\sqrt{10} - 1}\right)\]

Чтобы объединить два логарифма с одной переменной внутри, воспользуемся свойством \(\log_a{b} + \log_a{c} = \log_a{(b \cdot c)}\). Применим это свойство к оставшейся части:
\[\left(\log_3{\sqrt{10} + 1}\right) + \left(\log_3{\sqrt{10} - 1}\right) = \log_3{(\sqrt{10} + 1)(\sqrt{10} - 1)} = \log_3{(\sqrt{10}^2 - 1^2)} = \log_3{9} = 2\]

Наконец, учтем последнее слагаемое, умноженное на \(\log_7{2}\):
\[2\log_7{2} = \log_7{2^2} = \log_7{4}\]

Теперь сложим все слагаемые:
\(\log_7{256} + 2 + \log_7{4} = \log_7{256} + \log_7{4} + 2 = \log_7{(256 \cdot 4)} + 2 = \log_7{1024} + 2\)

Таким образом, упрощенная форма данного выражения равна \(\boxed{\log_7{1024} + 2}\).

2) Чтобы упростить данное выражение, применим свойства степеней.

Выражение \(4^{x-3} \cdot 2^x\) можно записать как \((2^2)^{x-3} \cdot 2^x\), что равно \(2^{2(x-3)} \cdot 2^x\).

Согласно правилу степеней \(a^{m+n} = a^m \cdot a^n\), получаем:
\(2^{2(x-3)} \cdot 2^x = 2^{2x-6+x} = 2^{3x-6}\)

Таким образом, упрощенная форма данного выражения равна \(\boxed{2^{3x-6}}\).