1) What is the seventh term of the sequence u_n = n + 2; n² - 13? 2) Find the sixth term of the sequence defined

1) Рассмотрим заданную последовательность \( u_n \) с двумя правилами:
- Первое правило: \( n + 2 \).
- Второе правило: \( n^2 - 13 \).

Чтобы найти седьмой член последовательности, нам нужно найти значение \( u_7 \). Для этого мы применим первое и второе правила по очереди:

Правило 1: \( 7 + 2 = 9 \).
Правило 2: \( 7^2 - 13 = 49 - 13 = 36 \).

Таким образом, седьмой член последовательности равен 36.

2) Дана рекурсивно определенная последовательность \( u_n \) с условиями:
- Первое условие: \( u_1 = 2 \).
- Второе условие: \( u_n = u_{n-1} + 4 \) для всех \( n \geq 2 \).

Мы хотим найти шестой член последовательности \( u_6 \). Для этого мы будем последовательно применять второе условие до шестого члена:

\( u_2 = u_1 + 4 = 2 + 4 = 6 \).
\( u_3 = u_2 + 4 = 6 + 4 = 10 \).
\( u_4 = u_3 + 4 = 10 + 4 = 14 \).
\( u_5 = u_4 + 4 = 14 + 4 = 18 \).
\( u_6 = u_5 + 4 = 18 + 4 = 22 \).

Таким образом, шестой член последовательности равен 22.

3) Дана последовательность, состоящая из двух подпоследовательностей:
- Первая подпоследовательность: 2, 3, 4, 5, 6, ...
- Вторая подпоследовательность: 1, 3, 5, 7, 9, ...

Мы хотим найти формулу для \( n \)-го члена последовательности. Обратите внимание, что представленные подпоследовательности соответствуют четным и нечетным числам.

Пусть \( A \) - это первая подпоследовательность четных чисел, а \( B \) - это вторая подпоследовательность нечетных чисел.

Формула для \( n \)-го члена последовательности будет следующей:
- Если \( n \) - четное число (\( n = 2k \)), то \( a_n = A_k = 2 + k \).
- Если \( n \) - нечетное число (\( n = 2k - 1 \)), то \( a_n = B_k = 2k - 1 \).

Таким образом, мы можем записать формулу для \( n \)-го члена последовательности:
- Если \( n \) - четное число, то \( a_n = 2 + \frac{n}{2} \).
- Если \( n \) - нечетное число, то \( a_n = n \).

4) Задана арифметическая прогрессия со значением первого члена \( a_1 = 4 \) и разностью \( d = 4 \) (т.к. разность между любыми двумя соседними членами равна 4).

Чтобы найти количество членов последовательности, которые меньше 93, мы можем найти наибольшее значение \( n \), при котором \( a_n < 93 \).

Используем формулу для \( n \)-го члена арифметической прогрессии:
\[ a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d \]

Подставим известные значения и решим неравенство:

\[ 4 + (n - 1) \cdot 4 < 93 \]
\[ 4 + 4n - 4 < 93 \]
\[ 4n < 93 - 4 \]
\[ 4n < 89 \]
\[ n < \frac{89}{4} \]
\[ n < 22.25 \]

Таким образом, наибольшее целое значение \( n \), при котором \( a_n < 93 \), равно 22.

5) Дана рекурсивно определенная последовательность \( u_n \) с условиями:
- Первое условие: \( u_1 = 1 \).
- Второе условие: \( u_2 = 2 \).
- Третье условие: \( u_n = 3u_{n-2} + 2u_{n-1} \) для всех \( n \geq 3 \).

Мы хотим найти значение члена последовательности \( u_n \) для \( n = 3 \).

Для этого мы будем последовательно применять третье условие, начиная с первых двух условий:

\( u_3 = 3u_1 + 2u_2 = 3 \cdot 1 + 2 \cdot 2 = 3 + 4 = 7 \).

Таким образом, значение третьего члена последовательности равно 7.