1. What is the result of: a) 4/5 * 10/11; b) 3/7 divided by 18/19; c) cube of (3/4) multiplied by 2. 2. Solve

1. a) Чтобы умножить дроби, перемножим числители и знаменатели: \(\frac{4}{5} \times \frac{10}{11} = \frac{4 \times 10}{5 \times 11} = \frac{40}{55}\). Данная дробь уже наименьших возможных частей, поэтому мы не можем ее простофицировать.

b) Чтобы разделить одну дробь на другую, умножим первую дробь на обратную второй дроби: \(\frac{3}{7} \div \frac{18}{19} = \frac{3}{7} \times \frac{19}{18} = \frac{3 \times 19}{7 \times 18} = \frac{57}{126}\). Сократим эту дробь: \(\frac{57}{126} = \frac{19}{42}\).

c) Чтобы возвести дробь в куб, возведем в куб числитель и знаменатель: \((\frac{3}{4})^3 \times 2 = (\frac{3^3}{4^3}) \times 2 = \frac{27}{64} \times 2 = \frac{54}{64}\). Сократим эту дробь: \(\frac{54}{64} = \frac{27}{32}\).

2. a) Чтобы решить данное выражение, сначала решим выражение в скобках: \(\frac{12}{25} - \frac{4}{15}\). Найдем общий знаменатель: \(\frac{12}{25} - \frac{4}{15} = \frac{12 \times 3}{25 \times 3} - \frac{4 \times 5}{15 \times 5} = \frac{36}{75} - \frac{20}{75} = \frac{36-20}{75} = \frac{16}{75}\).

Теперь найдем результат: \(\frac{4}{45} \div \frac{16}{75} + \frac{15}{16} \times \frac{4}{15}\). Мы знаем, что деление двух дробей эквивалентно умножению первой дроби на обратную второй дроби: \(\frac{4}{45} \times \frac{75}{16} + \frac{15}{16} \times \frac{4}{15} = \frac{4 \times 75}{45 \times 16} + \frac{15 \times 4}{16 \times 15} = \frac{300}{720} + \frac{60}{240} = \frac{5}{12} + \frac{1}{4} = \frac{5}{12} + \frac{3}{12} = \frac{8}{12}\).

b) Разложим данное выражение на простые дроби: \((1 - \frac{1}{2})^3 \div (\frac{1}{3} - \frac{1}{4})^2 \times (\frac{1}{6})^2\). Упростим выражение в скобках: \((\frac{1}{2})^3 \div (\frac{1}{12})^2 \times \frac{1}{36}\). Возводим дроби в степени: \((\frac{1}{2})^3 \div (\frac{1}{12})^2 \times \frac{1}{36} = \frac{1^3}{2^3} \div \frac{1^2}{12^2} \times \frac{1}{36} = \frac{1}{8} \div \frac{1}{144} \times \frac{1}{36} = \frac{1}{8} \times \frac{144}{1} \times \frac{1}{36} = \frac{144}{8} \times \frac{1}{36} = \frac{18}{1} \times \frac{1}{36} = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}\).

3. Книга имеет 320 страниц. Если прочитано 1/4 от книги, то остается 3/4 от книги, что равно \(\frac{3}{4} \times 320 = 240\) страниц. Затем к выбранной доле добавляется половина оставшегося количества страниц: \(\frac{1}{2} \times 240 = 120\) страниц. Осталось прочитать \(\frac{240}{2} = 120\) страниц.

4. Если рабочий выполнил 5/9 работы до обеда, то осталось выполнить 4/9 работы. После обеда он завершил половину оставшейся работы, то есть 2/9 работы, а также добавил 24 детали, чтобы завершить все задания. Поэтому задача состояла из 2/9 работы и 24 деталей.

Оставшаяся часть работы задается как 2/9 от общего объема, то есть \(\frac{2}{9} = \frac{24}{x}\), где \(x\) - общий объем работы.

Для решения этого уравнения перекрестно умножим числитель одной доли на знаменатель другой доли: \(2 \times x = 9 \times 24\). Поделим обе стороны на 2: \(x = \frac{9 \times 24}{2}\). После упрощения получаем \(x = 9 \times 12 = 108\). Таким образом, общий объем работы составляет 108 деталей.