1.) What is the measure of angle B in an acute triangle ABC with an area of 3 cubic cm, where AB = 2 cm and BC

1.) Для решения этой задачи нам понадобится формула для нахождения площади треугольника по длинам сторон и синусу включенного угла: \(S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin{B}\).

У нас уже известны значения длин сторон: \(AB = 2\, \text{см}\) и \(BC = 2\sqrt{3}\, \text{см}\), а также площадь треугольника \(S = 3\, \text{см}^2\). Известно, что треугольник является остроугольным, поэтому угол \(B\) будет острый.

Мы можем записать уравнение для площади треугольника: \(3 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \sin{B}\). Решим это уравнение:

\[\begin{aligned} 3 &= \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} \cdot \sin{B} \\ 6 &= 4\sqrt{3} \cdot \sin{B} \\ \sin{B} &= \frac{6}{4\sqrt{3}} \\ \sin{B} &= \frac{3}{2\sqrt{3}} \\ \sin{B} &= \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \end{aligned}\]

Так как у нас острый угол, мы можем использовать таблицу значений синуса для определения угла. Из таблицы мы находим, что синус 60 градусов равен \(\frac{\sqrt{3}}{2}\). Значит, угол \(B\) равен 60 градусов.

Ответ: Угол \(B\) треугольника ABC равен 60 градусов.

2.) Для решения этой задачи мы можем использовать формулу для нахождения площади треугольника по двум сторонам и синусу между ними: \(S = \frac{1}{2} \cdot \text{сторона}1 \cdot \text{сторона}2 \cdot \sin{\text{угол}}\).

У нас известны значения двух сторон: 5 см и 4 см, а также значение угла между ними: 150 градусов. Мы можем использовать формулу для нахождения площади треугольника:

\[S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 4 \cdot \sin{150}\]

Но сначала мы должны преобразовать угол в радианы, поскольку функция синуса принимает аргумент в радианах. Согласно формуле: Угол в радианах = Угол в градусах \(\times\) \(\frac{\pi}{180}\).

Подставляя значения в формулу, мы получаем:

\[\begin{aligned} S &= \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 4 \cdot \sin{(150^\circ \times \frac{\pi}{180})} \\ S &= \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 4 \cdot \sin{\frac{5\pi}{6}} \\ \end{aligned}\]

Такой угол \(\frac{5\pi}{6}\) соответствует углу 150 градусов. Результат довольно сложен для вычисления, но мы можем приблизить его численно, используя калькулятор. Умножим все числовые значения:

\[\begin{aligned} S &\approx 10 \cdot \sin{\frac{5\pi}{6}} \\ S &\approx 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \\ S &\approx 5\sqrt{3} \\ \end{aligned}\]

Ответ: Площадь треугольника составляет \(5\sqrt{3}\) квадратных сантиметров.

3.) Чтобы найти площадь выпуклого четырехугольника с диагоналями, мы можем использовать формулу для площади через стороны и две диагонали: \(S = \frac{1}{2} \cdot d1 \cdot d2 \cdot \sin{\alpha}\).

У нас есть значения двух диагоналей: 7 см и 8 см, а также значение угла между ними: 30 градусов. Мы можем использовать формулу:

\[S = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 8 \cdot \sin{30}\]

Снова, преобразуем угол в радианы:

\[\text{Угол в радианах} = \text{Угол в градусах} \times \frac{\pi}{180}\]

Теперь мы можем подставить значения в формулу:

\[\begin{aligned} S &= \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 8 \cdot \sin{(30^\circ \times \frac{\pi}{180})} \\ S &= \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 8 \cdot \sin{\frac{\pi}{6}}\end{aligned}\]

Угол \(\frac{\pi}{6}\) соответствует углу 30 градусов.

Вычислив значения:

\[\begin{aligned} S &= \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} \\ S &= 14 \cdot 4 \\ S &= 56 \end{aligned}\]

Ответ: Площадь четырехугольника составляет 56 квадратных сантиметров.